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微分係数と接線
定義 3.8 (接線) 点における微分係数
を曲線
の 接線(tangent)と呼ぶ.
点
,
,
からなる 三角形を考える.
だからこの三角形は直角三角形である.
の角度を
とおくと
(259)
が成り立つ.斜辺の傾きは
である.
のときの
の極限を考える. まず
を計算すると
(260) (261)
を得る. 傾きの極限が
であるので,
の極限も
となる. よって
における
の極限
が存在し,
(262)
となる. 以上より, 点に接するように極微小な三角形を描いたとき, その斜辺の傾きは
であり, その角度は
である.
例 3.9 (接線の方程式) 曲線上の点
において 曲線に接する直線を接線と呼ぶ. 接線の方程式は
(263)
で与えられる. この方程式を導出する. 点に接する極微小な直角三角形を考える. このとき三角形の斜辺の傾きは
である. 次に極微小な三角形と相似で点
,
を 斜辺とする三角形を考える. この三角形の斜辺の傾き
は 相似図形であるから,
となる. よって
(264)
が成り立つ. これより接線の方程式を得る. 接線の方程式は点における関数
の 1 次(線形)近似ともいう. ちなみに関数
の
における 0 次近似は
である.
問 3.10 教科書(p.46)問題 3-2.
Kondo Koichi
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Created at 2002/09/12