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15 交項級数

定義 1.69 (交項級数)   級数

$\displaystyle S$ $\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n} \quad(b_{n}\geq0)$ (151)

交項級数(alternative term series)と呼ぶ.

定理 1.70 (交項級数の収束定理)   交項級数 $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}}$ は 次の条件を満たすとき収束する:
(i)
$ b_{n}\geq b_{n+1}$.
(ii)
$ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$.


(証明)$ n$ が偶数のときの有限部分和

$\displaystyle S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\left(b_{2k-1}-b_{2k}\right)$ (152)

はと書ける.条件より $ b_{2k-1}-b_{2k}\geq0$ となるので, $ S_{2n}\geq0$ となる. また $ S_{2},S_{4},\cdots,S_{2n},\cdots$ は単調増加となる. さらには $ S_{2n}$

$\displaystyle S_{2n}=b_{1}-\sum_{k=1}^{n-1}\left(b_{2k}-b_{2k+1}\right)-b_{2n}$ (153)

とも書ける. $ b_{2k}-b_{2k+1}\geq0$, $ b_{2k}\geq0$ であるから, $ S_{2n}\leq b_{1}$ となる.よって $ S_{n}$

$\displaystyle 0\leq S_{2n}\leq b_{1}$ (154)

を満たす.$ S_{2n}$ は有界な単調増加数列である. よって $ S_{2n}$ は極限 $ \displaystyle{S=\lim_{n\to\infty}S_{2n}}$ が存在する. 次に $ n$ が奇数にる場合を考える. $ S_{2n+1}$ の極限は

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{2n+1}$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty}(S_{2n}+b_{2n+1})=S+0=S$ (155)

と得られる.以上で証明終了.

例 1.71 (交項級数の収束定理の具体例)   級数 $ \displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}}$ は 収束する. なぜなら $ b_{n}=1/2^{n}>b_{n+1}=1/2^{n+1}$ であり, $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$ であるから, 定理より級数は収束する.

例 1.72 (交項級数の収束定理の具体例)   級数 $ \displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$ は 収束する. なぜなら $ b_{n}=1/n>b_{n+1}=1/(n+1)$ であり, $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$ であるから, 定理より級数は収束する.



Kondo Koichi
Created at 2003/08/29