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1 巾級数

定義 4.1 (巾級数)   定数 $ c_{0},c_{1},c_{2},\cdots,c_{n},\cdots$ と 変数 $ x$ を考える. このとき級数

$\displaystyle c_{0}+c_{1}\,x+c_{2}\,x^{2}+\cdots+c_{n}\,x^{n}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}$ (502)

巾級数(power series)または 整級数(polynomial series)と呼ぶ. 同様に級数

$\displaystyle c_{0}+c_{1}\,(x-a)+c_{2}\,(x-a)^{2}+\cdots+c_{n}\,(x-a)^{n}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^{n}$ (503)

$ x-a$ の巾級数と呼ぶ.

定義 4.2 (収束半径)   巾級数 $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$$ \vert x-a\vert<r$ のとき絶対収束し, $ \vert x-a\vert>r$ のとき発散する. 定数 $ r>0$収束半径(radius of convergence)と呼ぶ.

例 4.3 (収束半径の具体例)   巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots$ (504)

$ \vert x\vert<1$ のとき収束する(公比が $ x$ の等比級数であるから). よって収束半径は $ r=1$ である.

巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$ (505)

は任意の有限の実数 $ x$ に対して収束する(例題 [*]). すなわち $ \vert x\vert<\infty$ において収束する. このとき収束半径は $ r=\infty$ と表わす.

定理 4.4 (収束半径の計算法)   巾級数 $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$ を考える. 極限

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$ (506)

または

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\vert c_{n}\vert}}$ (507)

が存在するとき, 巾級数 $ \sum c_{n}(x-a)^{n}$ の収束半径は $ r$ である.


(証明) 級数 $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$ と その絶対級数 $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\vert c_{n}\,(x-a)^n\vert}$ を 考える. このとき

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n \leq \sum_{n=0}^{\infty}\vert c_{n}\,(x-a)^n\vert$ (508)

であるので, $ \sum\vert c_{n}(x-a)^n\vert$ が収束するとき $ \sum c_{n}(x-a)^n$ も収束する. $ \sum a_{n}=\sum\vert c_{n}(x-a)^n\vert$ とおくと, $ a_{n}=\vert c_{n}(x-a)\vert^n\geq0$ であるから $ \sum a_{n}$ は正項級数となる. ゆえにダランベールの 収束判定法(定理 [*])より, 級数 $ \sum a_{n}$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$ (509)

のとき収束する. よって

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \frac{\left\vert c_{n+1}(x-a)^{n+1}\right\ver...
...frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\vert \frac{\vert x-a\vert^{n+1}}{\vert x-a\vert^{n}}$ (510)
  $\displaystyle = \vert x-a\vert\lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\vert<1$ (511)

となる. これより

$\displaystyle \vert x-a\vert< \frac{1}{\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left\ve...
..._{n}}\right\vert}}= \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$ (512)

を得る. 以上より収束半径は

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$ (513)

と求まる. 同様にしてコーシーの 収束判定法(定理 [*])より $ \displaystyle{r=\lim_{n\to\infty}1/\sqrt[n]{\vert c_{n}\vert}}$ が求まる.

例 4.5 (収束半径の計算例)   巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$ (514)

の収束半径を求める.$ c_{n}=1$ であるから,収束半径は

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{1}{1}\right\vert=1$ (515)

と求まる. 巾級数 $ \sum x^n$$ \vert x\vert<r=1$ のとき収束し, $ \vert x\vert>r=1$ のとき発散する.

巾級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+ \cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$ (516)

の収束半径を求める. $ c_{n}=1/n!$ であるから,収束半径は

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \l...
...\to\infty}\left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty$ (517)

と求まる.収束半径は $ r=\infty$ である. 巾級数 $ \sum x^n/n!$ は任意の実数 $ x$ に対して収束する.

巾級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+ \cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\cdots$ (518)

の収束半径を求める. $ c_{n}=(-1)^{n-1}/n$ であるから, 収束半径は

$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \l...
...}\frac{n+1}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$ (519)

と求まる. 巾級数 $ \sum (-1)^{n-1}x^n/n$$ \vert x\vert<r=1$ のとき収束し, $ \vert x\vert>r=1$ のとき発散する.

問 4.6   参考書(p.191)問題7-5 1.


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Kondo Koichi
Created at 2003/08/29