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1 巾級数
定義 4.1 (巾級数) 定数と 変数
を考える. このとき級数
(502)
を巾級数(power series)または 整級数(polynomial series)と呼ぶ. 同様に級数
(503)
をの巾級数と呼ぶ.
定義 4.2 (収束半径) 巾級数は
のとき絶対収束し,
のとき発散する. 定数
を収束半径(radius of convergence)と呼ぶ.
例 4.3 (収束半径の具体例) 巾級数
(504)
はのとき収束する(公比が
の等比級数であるから). よって収束半径は
である.
巾級数
(505)
は任意の有限の実数に対して収束する(例題
). すなわち
において収束する. このとき収束半径は
と表わす.
定理 4.4 (収束半径の計算法) 巾級数を考える. 極限
(506)
または
(507)
が存在するとき, 巾級数の収束半径は
である.
(証明) 級数と その絶対級数
を 考える. このとき
(508)
であるので,が収束するとき
も収束する.
とおくと,
であるから
は正項級数となる. ゆえにダランベールの 収束判定法(定理
)より, 級数
は
(509)
のとき収束する. よって
(510) (511)
となる. これより
(512)
を得る. 以上より収束半径は
(513)
と求まる. 同様にしてコーシーの 収束判定法(定理)より
が求まる.
例 4.5 (収束半径の計算例) 巾級数
(514)
の収束半径を求める.であるから,収束半径は
(515)
と求まる. 巾級数は
のとき収束し,
のとき発散する.
巾級数
(516)
の収束半径を求める.であるから,収束半径は
(517)
と求まる.収束半径はである. 巾級数
は任意の実数
に対して収束する.
巾級数
(518)
の収束半径を求める.であるから, 収束半径は
(519)
と求まる. 巾級数は
のとき収束し,
のとき発散する.
問 4.6 参考書(p.191)問題7-5 1.
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Created at 2003/08/29