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連立一次方程式
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccccc} a_{11}\,x_{1} & + & a_{12}\,x_{2} & = & b_{1} \\ a_{21}\,x_{1} & + & a_{22}\,x_{2} & = & b_{2} \end{array} \right.$](img909.png) |
(321) |
を考える.
このときこの方程式が一意な解ともつ条件を求める.
方程式を書き直すと
![$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \...
...atrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$](img910.png) |
(322) |
となる.
拡大係数行列は
![$\displaystyle [A\,\vert\,\vec{b}]$](img911.png) |
![$\displaystyle = \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{array} \right]$](img912.png) |
(323) |
である.
簡約化を行う:
|
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{array} \right]$](img913.png) |
(324) |
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(第一行に
を掛けて第二行に加える.) |
(325) |
|
![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} &...
...}}} & \displaystyle{\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}}} \end{array} \right]$](img915.png) |
(326) |
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(第二行に を掛ける.) |
(327) |
|
![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} &...
...{22}-a_{12}a_{21}} & \displaystyle{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} \end{array} \right]$](img917.png) |
(328) |
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(第二行に
を 掛けて第一行に加える.) |
(329) |
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![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & 0 & \dis...
...{22}-a_{12}a_{21}} & \displaystyle{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} \end{array} \right]$](img919.png) |
(330) |
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(第一行に を掛ける.) |
(331) |
|
(第二行に
を掛ける.) |
(332) |
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![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & \displays...
...rac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}} \end{array} \right]\,.$](img922.png) |
(333) |
ここで
と
![$\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq0$](img924.png) |
(334) |
を条件としてかした.
このとき拡大係数行列の階数は
であり,
一意な解
![$\displaystyle x_{1}$](img926.png) |
![$\displaystyle = \frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\,, \qquad x_{2}= \frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$](img927.png) |
(335) |
をもつ.
この結果より,行列
に対してスカラー量
を
![$\displaystyle \det(A)$](img930.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$](img931.png) |
(336) |
と定義する.
を行列式(determinant)という.
以上より,
連立方程式の解の判別条件を得る.
のとき行列
はフルランクであり
一意な解をもつ.
のとき行列
はランクが落ち
一意な解をもたない.
同様にして正方行列
に対して行列式を定義すると
![$\displaystyle 1\times1 \quad \det(A)$](img938.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} \end{vmatrix}= a_{11}$](img939.png) |
(337) |
![$\displaystyle 2\times2 \quad \det(A)$](img940.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$](img941.png) |
(338) |
![$\displaystyle 3\times3 \quad \det(A)$](img942.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$](img943.png) |
(339) |
|
![$\displaystyle = a_{11}a_{22}a_{33} -a_{11}a_{23}a_{32} +a_{12}a_{23}a_{31}$](img944.png) |
(340) |
|
![$\displaystyle \quad -a_{12}a_{21}a_{33} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}$](img945.png) |
(341) |
となる.
一般に
行列では
![$\displaystyle \det(A)= \sum_{(k_{1},\cdots,k_{n})\in S_{n}}(\pm) a_{1,k_{1}}a_{2,k_{2}}a_{3,k_{3}}\cdots a_{n,k_{n}}$](img947.png) |
(342) |
となることが予想される.
ここで
は
から
の整数でお互いが異なる値をとる.
総和
はこの組合わせの全ての和をとる.
互いに異なる
個の組合わせを考えるので
足し合せる項は
である.
すなわちこの組合わせの集合
は
である.
の元の個数は順列組合わせの個数となるので
個である.
符合
は次節の置換の符合から定まる.
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Kondo Koichi
Created at 2003/09/09