7 余因子展開

定理 3.60 (余因子展開)   第 $i$ 行に関する余因子展開：

$$\vert A\vert = (-1)^{i+1}a_{i1}\vert A_{i1}\vert+ (-1)^{i+2}a_{i2}\vert A_{i2}... ...t+ (-1)^{i+3}a_{i2}\vert A_{i3}\vert+ \cdots+ (-1)^{i+n}a_{in}\vert A_{in}\vert$$ (461)

$$=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{ik}\vert A_{ik}\vert$$ (462)

$$=a_{i1}\Delta_{i1}+a_{i2}\Delta_{i2}+a_{i3}\Delta_{i3}+\cdots+ a_{in}\Delta_{in}$$ (463)

$$=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{ik}\,.$$ (464)

第 $j$ 列に関する余因子展開：

$$\vert A\vert = (-1)^{j+1}a_{1j}\vert A_{1j}\vert+ (-1)^{j+2}a_{2j}\vert A_{2j}... ...t+ (-1)^{j+3}a_{2j}\vert A_{3j}\vert+ \cdots+ (-1)^{j+n}a_{nj}\vert A_{nj}\vert$$ (465)

$$=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+j}a_{kj}\vert A_{kj}\vert$$ (466)

$$=a_{1j}\Delta_{1j}+a_{2j}\Delta_{2j}+a_{3j}\Delta_{3j}+\cdots+ a_{nj}\Delta_{nj}$$ (467)

$$=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}\Delta_{kj}\,.$$ (468)

（証明）

例 3.61 (余因子展開の計算例)   第 $2$ 列目で余因子展開する：

$$\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 7 & 2 & 5 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix}=... ...vmatrix}+ (-1)^{2+3}5\times \begin{vmatrix}2 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}= -12\,.$$ (469)

例 3.62 (余因子展開の計算例)   第 $2$ 行目で余因子展開する：

$$\begin{vmatrix}4 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 7 & 8 & 3 \end{vmatrix}=... ...d{vmatrix}+ (-1)^{2+3}2\times \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}= 6\,.$$ (470)

例 3.63 (余因子展開の計算例)  

$$\overbrace{ \begin{vmatrix}a & & & & b \\ b & a & & & \\ & b & \ddots & & \\ & & \ddots & a & \\ & & & b & a \end{vmatrix}}^{n} = a \overbrace{ \begin{vmatrix}a & & & \\ b & \ddots & & \\ & \dd... ...x}b & a & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & b & a \\ & & & b \end{vmatrix}}^{n-1}$$ (471)

$$=a^{n}+(-1)^{n+1}b^{n}\,.$$ (472)

Kondo Koichi
Created at 2003/09/09