1 集合

定義 1.1 (集合)   ある一定範囲にある対象物の集まりを１つの全体として考えるとき， これを集合（set）という． その範囲内の個々の対象物を元 または要素（element）という． $x$ が集合 $X$ の元であることを $x$ は $X$ に属する（belong）， または $X$ は $x$ を含む（包含する）（contain）といい， $x\in X$ と表記する．その否定を $x\notin X$ と表記する．

例 1.2 (集合の具体例)  

$$\quad \mathbb{N} =\left\{1,2,3,4,5,\cdots\right\}\,,$$ (1)

$$\quad \mathbb{Z} =\left\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\right\}\,,$$ (2)

$$\quad \mathbb{Q} =\left\{\left.\frac{a}{b}\,\right\vert\,a,b\in\mathbb{Z}\right\}\,,$$ (3)

$$\quad \mathbb{R} =\left\{\left.a.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\cdots \,\right\vert\, a\in\mathbb{Z},\, b_{1},b_{2},\cdots\in\{0,1,2,\cdots,9\}\,\right\}\,,$$ (4)

$$\quad \mathbb{C} =\left\{\left.a+ib\,\right\vert\,a,b\in\mathbb{R},i^2=-1\right\}\,.$$ (5)

定義 1.3 (集合の包含関係)    

• $X=\emptyset$ ： 元を１つも含まない集合を空集合（empty set）という．
• $X=Y$：$X$ と $Y$ に含まれる元が全て等しいとき．
• $X\supset Y$ ： $Y$ に含まれる全ての元が $X$ に含まれるとき， $Y$ は $X$ の部分集合（subset）という．

例 1.4 (包含関係の具体例)  

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\,.$$ (6)

例 1.5 (包含関係の具体例)  

$$X =\left\{(x,y)\,\vert\,x+y\leq1\right\}\,, Y =\left\{(x,y)\,\vert\,x+y\leq0\right\}\,$$ (7)

のとき

$$X\supset Y$$ (8)

が成立する．

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14