12 高階導関数

定義 3.32 (高階導関数)   関数 $f'(x)$ が微分可能のとき，$f'(x)$ の導関数

$$f''(x) =\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$ (313)

を2 階導関数（second order derivative）という． このとき $f(x)$ は 2 回微分可能（two times differentiable）と呼ぶ． 同様に $f(x)$ を $n$ 回繰り返し微分した関数を $n$ 階導関数（$n$-th order derivative）といい， $f^{(n)}(x)$ と書き表わす． 関数 $f^{(n)}(x)$ は

$$f^{(n)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}\qquad (n=1,2,3,\cdots)$$ (314)

と再帰的に定義する． ただし $f^{(0)}(x)=f(x)$ とする． $f^{(n)}(x)$ が存在するとき $f(x)$ は $n$ 回微分可能（$n$ times differentiable）という．

例 3.33 (高階導関数の計算例)   $y=x^{\alpha}$ の高階導関数を求める． $\alpha$ が自然数ではないとき，

$$y' =\alpha\,x^{\alpha-1}\,,$$ (315)

$$y''&=\alpha(\alpha-1)\,x^{\alpha-2}\,,$$ (316)

$$y''' =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\,x^{\alpha-3}\,,$$ (317)

$$\cdots$$

$$y^{(n)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}\,,$$ (318)

$$y^{(n+1)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n)x^{\alpha-n-1}\,$$ (319)

$$\cdots$$

を得る． $\alpha$ が自然数 $\alpha=n$ のとき，

$$y =x^{\alpha}\,,$$ (320)

$$y' =\alpha\,x^{\alpha-1}\,,$$ (321)

$$y''&=\alpha(\alpha-1)\,x^{\alpha-2}\,,$$ (322)

$$y''' =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\,x^{\alpha-3}\,,$$ (323)

$$\cdots$$

$$y^{(\alpha-1)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots 2\cdot\,x\,,$$ (324)

$$y^{(\alpha)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots 2\cdot 1\,,$$ (325)

$$y^{(\alpha+1)} =0\,,$$ (326)

$$y^{(\alpha+2)} =0\,$$ (327)

$$\cdots$$

を得る．

例 3.34 (高階導関数の計算例)   $y=e^{a\,x}$ の高階導関数を求める． 合成関数の微分を繰り返して

$$y =e^{a\,x}\,,$$ (328)

$$y' =a\,e^{a\,x}\,,$$ (329)

$$y''&=a^2\,e^{a\,x}\,,$$ (330)

$$y''' =a^3\,e^{a\,x}\,,$$ (331)

$$\cdots$$

$$y^{(n)} =a^n\,e^{a\,x}\,$$ (332)

を得る．

例 3.35 (高階導関数の計算例)  

$$y =\sin x\,,$$ (333)

$$y' =\cos x\,,$$ (334)

$$y''&=-\sin x\,,$$ (335)

$$y''' =-\cos x\,,$$ (336)

$$y^{(4)} =\sin x\,,$$ (337)

$$\cdots$$ (338)

$$y^{(n)} = \left\{ \begin{array}{ll} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \\ -\sin x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right.$$ (339)

$$y^{(n)} = \sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\,.$$ (340)

問 3.36 (高階導関数の例)   $y=\cos x$, $y=\sinh x$, $y=\cosh x$ の $y^{(n)}$ を求めよ．

例 3.37 (高階導関数の計算例)  

$$y =\sqrt{1-x}\,,$$ (341)

$$y' = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,,$$ (342)

$$y''&= -\frac{1}{2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^3}}\,,$$ (343)

$$y''' = -\frac{1\cdot3}{2\cdot2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}}\,,$$ (344)

$$y^{(4)} = -\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot2\cdot2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^7}}\,,$$ (345)

$$\vdots$$ (346)

$$y^{(n)} = -\frac{(2n-3)!!}{2^n} \frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2n-1}}}$$ (347)

ただし

$$(2n+1)!! =(2n+1)(2n-1)(2n-3)\cdots7\cdot5\cdot3\cdot1\,,$$ (348)

$$(2n)!! =(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots8\cdot6\cdot4\cdot2\,,$$ (349)

$$0!! =(-1)!!=1$$ (350)

と定義する．

問 3.38   参考書（p.52）問題 3-3.

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14