9 漸化式を用いた積分の計算

例 6.31 (漸化式による不定積分の求積) 不定積分

$\displaystyle I_{n}$	$\displaystyle = \int\cos^{n}x\,dx\,\qquad n=0,1,2,\cdots\,,$	(958)
$\displaystyle J_{n}$	$\displaystyle = \int\sin^{n}x\,dx\,,\qquad n=0,1,2,\cdots$	(959)

を考える．のとき

$\displaystyle I_{0}$	$\displaystyle = \int\,dx=x+C\,,$	(960)
$\displaystyle J_{0}$	$\displaystyle = \int\,dx=x+C\,$	(961)

を得る．のとき

$\displaystyle I_{1}$	$\displaystyle = \int\cos x\,dx=\sin x+C\,,$	(962)
$\displaystyle J_{1}$	$\displaystyle = \int\sin x\,dx=-\cos x+C$	(963)

を得る． $n\ge2$ のときを考える． $I_{n}$ を部分積分を用いて計算すると

$\displaystyle I_{n}$	$\displaystyle = \int\cos^{n}x\,dx= \int\cos^{n-1}x\,\cos x\,dx= \int\cos^{n-1}x\,(\sin x)'\,dx$	(964)
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x- \int(n-1)\cos^{n-2}x\,(-\sin x)\,\sin x\,dx$	(965)
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x\,\sin^2 x\,dx$	(966)
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x\,(1-\cos^2x)\,dx$	(967)
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \left\{ \int\cos^{n-2}x\,dx- \int\cos^{n}x\,dx\right\}$	(968)
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)(I_{n-2}-I_{n})$	(969)
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$	(970)

となる． $I_{n}$ を移項すると

$\displaystyle (1+(n-1))I_{n}$	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}$	(971)
$\displaystyle n\,I_{n}$	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}$	(972)
$\displaystyle I_{n}$	$\displaystyle = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\,\sin x+\left(1-\frac{1}{n}\right)I_{n-2}$	(973)

を得る．最後の式は漸化式である．この漸化式より不定積分 $I_{n}$ が求まる．同様にして

$\displaystyle J_{n}$

$\displaystyle = -\frac{1}{n}\cos x\,\sin^{n-1}x+ \left(1-\frac{1}{n}\right)J_{n-2}$

(974)

を得る．