3 行列の積

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定義 2.46 (行列の積) 行列と行列の積をとする．このとき

$\displaystyle A\,B=C$

(244)

と表記する．行列の積は型が

$\displaystyle A$

$\displaystyle =[a_{ij}]_{m\times n}\,,\qquad B=[b_{ij}]_{n\times r}\,,\qquad C=[c_{ij}]_{m\times r}\,\qquad$

(245)

のとき定義される．各成分は

	$\displaystyle AB= \begin{bmatrix}\!\! & \!\! & \!\cdots\! & \!\! \\ \!\vdots... ...! \\ \!\! & \!\! & \!\cdots\! & \!\! & \!\cdots\! & \!*\! \end{bmatrix}=C\,,$	(246)
	$\displaystyle \qquad c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\cdots+ a_{in}b_{nj}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$	(247)

と定義される．

例 2.47 (行列の積の計算例)

	$\displaystyle \underset{\text{\small$2\times3$型}}{ \begin{bmatrix}2 & 1 & -3 \... ...imes3$型}}{ \begin{bmatrix}3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 1 \end{bmatrix}}$	(248)
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}2\times 3+1\times 2+(-3)\times(-1) & 2\times 1+1... ...mes 1+(-5)\times 0+2\times 4 & 1\times 0+(-5)\times(-1)+2\times 1 \end{bmatrix}$	(249)
	$\displaystyle = \underset{\text{\small$2\times3$型}}{ \begin{bmatrix}11 & -10 & -4 \\ -9 & 9 & 7 \end{bmatrix}}\,.$	(250)

例 2.48 (行列の積の計算例)

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\,, \qquad B= \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

(251)

とおく．

$\displaystyle AB$	$\displaystyle = \underset{\text{\small$3\times1$型}}{ \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\... ...3$型}}{ \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \\ -1 & -3 & -2 \\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix}}\,.$	(252)
$\displaystyle BA=$	$\displaystyle \underset{\text{\small$1\times3$型}}{ \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \e... ...}}{ \begin{bmatrix}2 \end{bmatrix}}\,. \qquad \text{←スカラーではないので注意}$	(253)

$AB\neq BA$ であることに注意．

例 2.49 (行列の積の具体例)

	$\displaystyle \underset{\text{\small$3\times3$\ 型}}{ \begin{bmatrix}1 & 4 & 5 ... ...rset{\text{\small$3\times1$\ 型}}{ \begin{bmatrix}-1 \\ -2 \\ -3 \end{bmatrix}}$	(254)
	$\displaystyle \qquad \quad\Leftrightarrow\quad \underset{\text{\small 連立一次�... ...in{array}{l} x+4y+5z = -1 \\ 9x+2y+6z = -2 \\ 8x+7y+3z = -3 \end{array}\right.}$	(255)

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Kondo Koichi
Created at 2004/11/26