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10 行列のベクトルへの分割

例 2.70 (行列を列ベクトル,行ベクトルへ分割)   行列を分割し列ベクトルと行ベクトルでそれぞれ表す. 行列

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}$ (313)

を考える. 行列を一列ずつ縦に分割し,

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \vec{a}_{3} & \vec{a}_{4} \end{bmatrix}$ (314)

と表わす. ただし,

$\displaystyle \vec{a}_{1}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\,,$ $\displaystyle \vec{a}_{2}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\,,$ $\displaystyle \vec{a}_{3}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}4 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}\,,$ $\displaystyle \vec{a}_{4}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}4 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\,$   $ 3\times1$ 型行列(3次の列ベクトル) (315)

とおく. 行列を一行ずつ分割し,

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} \\ \vec{b}_{2} \\ \vec{b}_{3} \end{bmatrix}$ (316)

と表わす. ただし,

$\displaystyle \vec{b}_{1}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & 4 \end{bmatrix}\,,$ $\displaystyle \vec{b}_{2}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\,,$ $\displaystyle \vec{b}_{3}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}\,$ (317)
          $ 1\times4$ 型行列(4次の行ベクトル)    

とおく.

問 2.71   教科書(p.14)問題1.3.

例 2.72 (行列をベクトルに分割したときの積の表現)   行列の積をベクトルを用いて表現する. 行列 $ A$ と行列 $ B$ の積 $ AB$ を考える. 行列 $ A$

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \v...
...uad \vec{a}_{i}= \begin{bmatrix}a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix}$   :行ベクトル (318)

のように行ベクトルに分割する. 行列 $ B$

$\displaystyle B$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1r} \\ \vdots & \ddots & \v...
...vec{b}_{j}= \begin{bmatrix}b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{bmatrix}\,$   :列ベクトル (319)

のように列ベクトルに分割する. このとき積 $ AB$

$\displaystyle AB$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vec{a}_{2} \\ \vdots \\ \vec{a}_...
...} \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{r} \end{bmatrix}$ (320)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1}\vec{b}_{1} & \vec{a}_{1}\vec{b}_{2} ...
... & (\vec{a}_{m},\vec{b}_{2}) & \cdots & (\vec{a}_{m},\vec{b}_{r}) \end{bmatrix}$ (321)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \ve...
...begin{bmatrix}A\vec{b}_{1} & A\vec{b}_{2} & \cdots & A\vec{b}_{r} \end{bmatrix}$ (322)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vec{a}_{2} \\ \vdots \\ \vec{a}_...
...in{bmatrix}\vec{a}_{1}B \\ \vec{a}_{2}B \\ \vdots \\ \vec{a}_{m}B \end{bmatrix}$ (323)

と表わされる. ここで

$\displaystyle \vec{a}_{i}\vec{b}_{j}$ $\displaystyle = (\vec{a}_{i},\vec{b}_{j})= \vec{a}_{i}\cdot\vec{b}_{j}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$ (324)

となることに注意する.

例 2.73 (行列の積の具体例)  

  $\displaystyle \underset{\text{\small 連立一次方程式}}{ \left\{\begin{array}{l} x+4y+5z = -1 \\ 9x+2y+6z = -2 \\ 8x+7y+3z = -3 \end{array}\right.}$ (325)
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$\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \underset{...
...2} & \vec{a}_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\vec{b}$ (326)
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad x \begin{bmatrix}1 \\ 9 \\ 8 \end{bmatr...
...quad \Leftrightarrow \quad x\,\vec{a}_{1}+y\,\vec{a}_{2}+z\,\vec{a}_{3}=\vec{b}$ (327)


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Kondo Koichi
Created at 2004/11/26