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定義 3.8 (連立一次方程式の基本変形)
連立一次方程式に対する次のの操作を
連立一次方程式の基本変形と呼ぶ.
- (1)
- 一つの式を
倍する.
- (2)
- 二つの式を入れ替える.
- (3)
- 一つの式を
倍して別の行に加える.
連立一次方程式に基本変形をして得られた方程式と
元の方程式とは等価な方程式である.
すなわち両者は同じ解をもつ.
連立一次方程式とその行列表現は,方程式としては等価なものである.
連立一次方程式の基本変形は,
行列表現では次の行列の行の基本変形となる.
定義 3.9 (行列の行の基本変形)
行列に対する次の操作を
行列の行の基本変形
(matrix elementary row transformation)と呼ぶ.
- (1)
- 一つの行を
倍する.
- (2)
- 二つの行を入れ替える.
- (3)
- 一つの行を
倍して別の行に加える.
定理 3.10 (掃き出し法)
拡大係数行列
![$ [A\vert\vec{b}]$](img1303.png)
に基本変形を繰り返し行ない,
![$\displaystyle [A\vert\vec{b}] \to \left[ \begin{array}{cccc\vert c} 1 & & &\sma...
...& & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}&& & 1 & \tilde{b}_{m} \end{array} \right]$](img1304.png) |
(344) |
の形に変形ができたとする.
このとき解は
![$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}\tilde{b}_{1} \\ \tilde{b}_{2} \\ \vdots \\ \tilde{b}_{m} \end{bmatrix}$](img1305.png) |
(345) |
と得られる.
この解法を
掃き出し法(sweeping-out method)または
ガウスの消去法(Gaussian elimination)と呼ぶ.
例 3.11 (掃き出し法による計算例)
連立一次方程式
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} 2x & + & 3y & =8 \\ [1ex] x & + & 2y & =5 \end{array}\right.$](img1306.png) |
(346) |
を考える.
基本変形を繰り返し行なう.
連立方程式とその拡大係数行列
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} 2x & + & 3y & =8 \\ [1ex] x & + & 2y ...
...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$](img1307.png) |
(347) |
に基本変形をほどこす.
第二式を
![$ -2$](img1308.png)
倍し第一式に加えると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} & & -y & =-2 \\ [1ex] x & + & 2y & =5...
...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$](img1309.png) |
(348) |
を得る.
第一式と第二式を入れ換えて
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} x & + & 2y & =5 \\ [1ex] & & -y & =-2...
...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$](img1310.png) |
(349) |
となる.第二式を
![$ 2$](img1311.png)
倍し第一式に加えると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} x & & & =1 \\ [1ex] & & -y & =-2 \end...
...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$](img1312.png) |
(350) |
となる.第二式を
![$ -1$](img1313.png)
倍すると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} x & & & =1 \\ [1ex] & & y & =2 \end{a...
...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$](img1314.png) |
(351) |
を得る.結局拡大係数行列は
![$\displaystyle \left[\begin{array}{cc\vert c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}...
...t] \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$](img1315.png) |
(352) |
と変形された.
以上より,解は
![$ (x,y)=(1,2)$](img1316.png)
と求まる.
例 3.12 (掃き出し法による計算例)
連立一次方程式
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} 2x & + & 3y & - & z & =-3 \\ [.5ex] -x & + & 2y & + & 2z & =1 \\ [.5ex] x & + & y & - & z & =-2 \end{array}\right.$](img1317.png) |
(353) |
を考える.
拡大係数行列に基本変形を繰り返し行なう.
連立一次方程式とその拡大係数行列
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} 2x & + & 3y & - & z & =-3 \\ [.5ex]...
...vert c} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$](img1318.png) |
(354) |
に基本変形をほどこす.
第三行を
![$ -2$](img1319.png)
倍して第一式に足すと
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} & & y & + & z & =1 \\ [.5ex] -x & +...
...c\vert c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$](img1320.png) |
(355) |
となる.
第三行を第一式に足すと
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} & & y & + & z & =1 \\ [.5ex] & & 3y...
...c\vert c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$](img1321.png) |
(356) |
となる.
第一式と第三行を入れ替えると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & + & y & - & z & =-2 \\ [.5ex] &...
...c\vert c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$](img1322.png) |
(357) |
となる.
第三式を
![$ -1$](img1323.png)
倍して第一行に加えると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...c\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$](img1324.png) |
(358) |
となる.
第三式を
![$ -3$](img1325.png)
倍して第二行に加えると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$](img1326.png) |
(359) |
となる.
第二式と第三式を入れ替えると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right]$](img1327.png) |
(360) |
となる.
第三式を
![$ \displaystyle{-\frac{1}{2}}$](img1328.png)
倍すると
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...cc\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$](img1329.png) |
(361) |
となる.
第三式を
![$ 2$](img1330.png)
倍して第一式に足すと
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & & & =1 \\ [.5ex] & & y & + ...
...{ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$](img1331.png) |
(362) |
となる.
第三式を
![$ -1$](img1332.png)
倍して第二式に足すと
|
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & & & =1 \\ [.5ex] & & y & & ...
...ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$](img1333.png) |
(363) |
となる.
よって
![$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc\vert c} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1...
...ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$](img1334.png) |
(364) |
を得る.
以上より,解は
![$ (x,y,z)=(1,-1,2)$](img1335.png)
と求まる.
例 3.13 (掃き出し法による計算例)
連立一次方程式
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & + & y & - & z & =1 \\ [.5ex] 2x & + & y & + & 3z & =4 \\ [.5ex] -x & + & 2y& - & 4z & =-2 \end{array}\right.$](img1336.png) |
(365) |
を考える.
拡大係数行列に基本変形を繰り返し行ない,
![$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc\vert c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \...
...\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{array}\right]$](img1337.png) |
(366) |
を得る.
以上より,解は
![$ (x,y,z)=(1,1/2,1/2)$](img1338.png)
と求まる.
問 3.14
教科書(p.22)問題2.1.
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Kondo Koichi
Created at 2004/11/26