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3 連立一次方程式の基本変形

定義 3.8 (連立一次方程式の基本変形)   連立一次方程式に対する次のの操作を 連立一次方程式の基本変形と呼ぶ.
(1)
一つの式を $ \alpha\,(\neq0)$ 倍する.
(2)
二つの式を入れ替える.
(3)
一つの式を $ \alpha$ 倍して別の行に加える.

連立一次方程式に基本変形をして得られた方程式と 元の方程式とは等価な方程式である. すなわち両者は同じ解をもつ.

連立一次方程式とその行列表現は,方程式としては等価なものである. 連立一次方程式の基本変形は, 行列表現では次の行列の行の基本変形となる.

定義 3.9 (行列の行の基本変形)   行列に対する次の操作を 行列の行の基本変形 (matrix elementary row transformation)と呼ぶ.
(1)
一つの行を $ \alpha\,(\neq0)$ 倍する.
(2)
二つの行を入れ替える.
(3)
一つの行を $ \alpha$ 倍して別の行に加える.

定理 3.10 (掃き出し法)   拡大係数行列 $ [A\vert\vec{b}]$ に基本変形を繰り返し行ない,

$\displaystyle [A\vert\vec{b}] \to \left[ \begin{array}{cccc\vert c} 1 & & &\sma...
...& & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}&& & 1 & \tilde{b}_{m} \end{array} \right]$ (344)

の形に変形ができたとする. このとき解は

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}\tilde{b}_{1} \\ \tilde{b}_{2} \\ \vdots \\ \tilde{b}_{m} \end{bmatrix}$ (345)

と得られる. この解法を 掃き出し法(sweeping-out method)または ガウスの消去法(Gaussian elimination)と呼ぶ.

例 3.11 (掃き出し法による計算例)   連立一次方程式

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} 2x & + & 3y & =8 \\ [1ex] x & + & 2y & =5 \end{array}\right.$ (346)

を考える. 基本変形を繰り返し行なう. 連立方程式とその拡大係数行列

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} 2x & + & 3y & =8 \\ [1ex] x & + & 2y ...
...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$ (347)

に基本変形をほどこす. 第二式を $ -2$ 倍し第一式に加えると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} & & -y & =-2 \\ [1ex] x & + & 2y & =5...
...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$ (348)

を得る. 第一式と第二式を入れ換えて

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} x & + & 2y & =5 \\ [1ex] & & -y & =-2...
...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$ (349)

となる.第二式を $ 2$ 倍し第一式に加えると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} x & & & =1 \\ [1ex] & & -y & =-2 \end...
...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$ (350)

となる.第二式を $ -1$ 倍すると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccc} x & & & =1 \\ [1ex] & & y & =2 \end{a...
...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (351)

を得る.結局拡大係数行列は

$\displaystyle \left[\begin{array}{cc\vert c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}...
...t] \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (352)

と変形された. 以上より,解は $ (x,y)=(1,2)$ と求まる.

例 3.12 (掃き出し法による計算例)   連立一次方程式

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} 2x & + & 3y & - & z & =-3 \\ [.5ex] -x & + & 2y & + & 2z & =1 \\ [.5ex] x & + & y & - & z & =-2 \end{array}\right.$ (353)

を考える. 拡大係数行列に基本変形を繰り返し行なう. 連立一次方程式とその拡大係数行列

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} 2x & + & 3y & - & z & =-3 \\ [.5ex]...
...vert c} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$ (354)

に基本変形をほどこす. 第三行を $ -2$ 倍して第一式に足すと

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} & & y & + & z & =1 \\ [.5ex] -x & +...
...c\vert c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$ (355)

となる. 第三行を第一式に足すと

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} & & y & + & z & =1 \\ [.5ex] & & 3y...
...c\vert c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$ (356)

となる. 第一式と第三行を入れ替えると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & + & y & - & z & =-2 \\ [.5ex] &...
...c\vert c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$ (357)

となる. 第三式を $ -1$ 倍して第一行に加えると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...c\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$ (358)

となる. 第三式を $ -3$ 倍して第二行に加えると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$ (359)

となる. 第二式と第三式を入れ替えると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right]$ (360)

となる. 第三式を $ \displaystyle{-\frac{1}{2}}$ 倍すると

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ...
...cc\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (361)

となる. 第三式を $ 2$ 倍して第一式に足すと

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & & & =1 \\ [.5ex] & & y & + ...
...{ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (362)

となる. 第三式を $ -1$ 倍して第二式に足すと

  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & & & =1 \\ [.5ex] & & y & & ...
...ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (363)

となる. よって

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc\vert c} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1...
...ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (364)

を得る. 以上より,解は $ (x,y,z)=(1,-1,2)$ と求まる.

例 3.13 (掃き出し法による計算例)   連立一次方程式

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x & + & y & - & z & =1 \\ [.5ex] 2x & + & y & + & 3z & =4 \\ [.5ex] -x & + & 2y& - & 4z & =-2 \end{array}\right.$ (365)

を考える. 拡大係数行列に基本変形を繰り返し行ない,

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc\vert c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \...
...\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{array}\right]$ (366)

を得る. 以上より,解は $ (x,y,z)=(1,1/2,1/2)$ と求まる.

問 3.14   教科書(p.22)問題2.1.


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Kondo Koichi
Created at 2004/11/26