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1 行列式の導出

連立一次方程式

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccccc} a_{11}\,x_{1} & + & a_{12}\,x_{2} & = & b_{1} \\ a_{21}\,x_{1} & + & a_{22}\,x_{2} & = & b_{2} \end{array} \right.$ (528)

を考える. このときこの方程式が一意な解ともつ条件を求める. 方程式を書き直すと

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \...
...atrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$ (529)

となる. 拡大係数行列は

$\displaystyle [A\,\vert\,\vec{b}]$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{array} \right]$ (530)

である. 簡約化を行う:

  $\displaystyle \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{array} \right]$ (531)
     (第一行に $ -a_{21}/a_{11}$ を掛けて第二行に加える.) (532)
  $\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} &...
...}}} & \displaystyle{\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}}} \end{array} \right]$ (533)
     (第二行に $ a_{11}$ を掛ける.) (534)
  $\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} &...
...{22}-a_{12}a_{21}} & \displaystyle{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} \end{array} \right]$ (535)
     (第二行に $ -a_{12}/(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})$ を 掛けて第一行に加える.) (536)
  $\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & 0 & \dis...
...{22}-a_{12}a_{21}} & \displaystyle{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} \end{array} \right]$ (537)
     (第一行に $ -1/a_{11}$ を掛ける.) (538)
     (第二行に $ -1/(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})$ を掛ける.) (539)
  $\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & \displays...
...rac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}} \end{array} \right]\,.$ (540)

ここで $ a_{11}\neq0$

$\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq0$ (541)

を条件としてかした. このとき拡大係数行列の階数は $ 2$ であり, 一意な解

$\displaystyle x_{1}$ $\displaystyle = \frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\,, \qquad x_{2}= \frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ (542)

をもつ. この結果より,行列 $ A$ に対してスカラー量 $ \det(A)$

$\displaystyle \det(A)$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ (543)

と定義する. $ \det(A)$行列式(determinant)という. 以上より, 連立方程式の解の判別条件を得る. $ \det(A)\neq0$ のとき行列 $ A$ はフルランクであり 一意な解をもつ. $ \det(A)=0$ のとき行列 $ A$ はランクが落ち 一意な解をもたない.

同様にして正方行列 $ A$ に対して行列式を定義すると

$\displaystyle 1\times1 \quad \det(A)$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} \end{vmatrix}= a_{11}$ (544)
$\displaystyle 2\times2 \quad \det(A)$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ (545)
$\displaystyle 3\times3 \quad \det(A)$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ (546)
  $\displaystyle = a_{11}a_{22}a_{33} -a_{11}a_{23}a_{32} +a_{12}a_{23}a_{31}$ (547)
  $\displaystyle \quad -a_{12}a_{21}a_{33} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}$ (548)

となる. 一般に $ n\times n$ 行列では

$\displaystyle \det(A)= \sum_{(k_{1},\cdots,k_{n})\in S_{n}}(\pm) a_{1,k_{1}}a_{2,k_{2}}a_{3,k_{3}}\cdots a_{n,k_{n}}$ (549)

となることが予想される. ここで $ k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$$ 1$ から $ n$ の整数でお互いが異なる値をとる. 総和 $ \sum$ はこの組合わせの全ての和をとる. 互いに異なる $ n$ 個の組合わせを考えるので 足し合せる項は $ n!$ である. すなわちこの組合わせの集合 $ S_{n}$

$\displaystyle S_{1}$ $\displaystyle = \left\{ (1) \right\}\,,$ (550)
$\displaystyle S_{2}$ $\displaystyle = \left\{ (1,2), (2,1) \right\}\,,$ (551)
$\displaystyle S_{3}$ $\displaystyle = \left\{ (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), (3,2,1) \right\}\,$ (552)

である. $ S_{n}$ の元の個数は順列組合わせの個数となるので $ n!$ 個である. 符合 $ \pm$ は次節の置換の符合から定まる.


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Kondo Koichi
Created at 2004/11/26