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4 線形結合

定義 1.17 (線形結合)   ベクトル $ \vec{a}$, $ \vec{b}$, $ \vec{c}\in\mathbb{R}^{n}$ と スカラー $ \alpha$, $ \beta\in\mathbb{R}$ に対して,

$\displaystyle \vec{c}=\alpha\,\vec{a}+\beta\,\vec{b}$ (13)

$ \vec{a}$, $ \vec{b}$$ 1$ 次結合または 線形結合(linear combination)という.

注意 1.18 (線形結合)   線形結合 $ \vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ を考える. $ A(\vec{a})$, $ B(\vec{b})$, $ A'(\alpha\vec{a})$, $ B'(\beta\vec{b})$, $ C(\vec{c})$ とする. 点 $ A'$, $ B'$ はそれぞれ直線 $ OA$, $ OB$ の延長線上にあり, $ \overline{OA'}=\alpha\overline{OA}$, $ \overline{OB'}=\beta\overline{OB}$ を満す. 点 $ O$, $ A'$, $ B'$, $ C$ は平行四辺形となる.

例 1.19 (線形結合の具体例)   ベクトル $ \vec{c}=2\vec{a}-3\vec{b}$ を考える. 原点 $ O$ から点 $ A(\vec{a})$ への延長線上の点で, 原点との長さが $ \overline{OA}$$ 2$ 倍となる点を $ A'$ とする. 原点 $ O$ から点 $ B(\vec{a})$ とは逆向きにのばした直線上の点で, 原点との長さが $ \overline{OB}$$ 3$ 倍となる点を $ B'$ とする. 点 $ C$ は線分 $ OA'$, $ OB'$ からなる平行四辺形の 原点の対角線上の頂点となる.

定義 1.20 (基本ベクトル)   $ \mathbb{R}^{n}$ 空間の座標軸上の点

  $\displaystyle E_{1}(1,0,0,\cdots,0)\,,$   $\displaystyle E_{2}(0,1,0,\cdots,0)\,,$   $\displaystyle E_{3}(0,0,1,\cdots,0)\,,$   $\displaystyle \cdots\,,$   $\displaystyle E_{n}(0,0,0,\cdots,1)\,$ (14)

の位置ベクトル

$\displaystyle \mathbb{R}^{n}\ni \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdo...
...ts,\quad \vec{e}_{n}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$ (15)

$ \mathbb{R}^{n}$基本ベクトル(fundamental vectors) という.

例 1.21 (線形結合の具体例)   $ \mathbb{R}^{n}$ 空間内の任意の点 $ \vec{x}$

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots x_{n}\vec{e}_{n}$ (16)

であり, $ \vec{e}_{1}$, $ \vec{e}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{e}_{n}$ の 線形結合で表される.



Kondo Koichi
Created at 2004/11/26