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13 1 次独立と 1 次従属

定義 1.53 (1 次結合,1 次従属)   ベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m\in V$ に対して, ベクトル

$\displaystyle \vec{v}= c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_1\vec{u}_m \in V, \qquad c_1,c_2,\cdots,c_m\in\mathbb{R}$    

$ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$1 次結合または線形結合(linear combination) という. またこのとき, ベクトル $ \vec{v}$ $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$1 次従属または線形従属(linearly dependent) という.

定義 1.54 (1 次関係,1 次独立,1 次従属)   ベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m\in V$ に対して, 条件式

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_1\vec{u}_m=\vec{0}, \qquad c_1,c_2,\cdots,c_m\in\mathbb{R}$    

$ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$1 次関係という.

1 次関係をみたす係数が $ c_1=0,c_2=0,\cdots,c_n=0$ ときのみであるとき, $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$1 次独立または線形独立(linearly independent) という. $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ が 1 次独立ではないしき, 1 次従属または線形従属という.

注意 1.55 (自明な 1 次関係)   1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_1\vec{u}_m=\vec{0},$    

において

$\displaystyle c_1=0,\quad c_2=0,\quad \cdots,\quad c_n=0$    

とおくと,明らかに 1 次関係は成立する. このとき自明な 1 次関係という. 自明な 1 次関係のときベクトルは 1 次独立である. また, 自明な 1 次関係ではないとき非自明な 1 次関係という. 非自明な 1 次関係のときベクトルは 1 次従属である. 非自明な場合は例えば

  $\displaystyle c_1=1,\quad c_2=0, \quad \cdots, \quad c_n=0$    
  $\displaystyle c_1=0,\quad c_2=1, \quad \cdots, \quad c_n=0$    
  $\displaystyle c_1=0,\quad c_2=0, \quad \cdots, \quad c_n=1$    
  $\displaystyle c_1=1,\quad c_2=1, \quad \cdots, \quad c_n=1$    

等々がある.

例 1.56 (ベクトルの 1 次独立,1 次従属の具体例)   ベクトル $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^2$ を考える.

(i) $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ が同じ向きのときを考える. 向きが同じなので $ \vec{b}=\alpha\vec{a}$ と書ける.また,

$\displaystyle \alpha\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$    

となので,非自明な 1 次関係である. よって $ \vec{a},\vec{b}$ は 1 次従属である.

(ii) $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ の向きが異なるときを考える. このとき 1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{a}+c_2\vec{b}=\vec{0}$    

は自明なもののみである. もし非自明であれば同時には $ c_1=0$, $ c_2=0$ とはならないので, $ c_1\neq0$ とおく. このとき

$\displaystyle \vec{a}=-\frac{c_2}{c_1}\vec{b}$    

と表される. $ \vec{a}$$ \vec{b}$ は同じ向きとなる. これは与えられた条件と矛盾する. よって 1 次関係は自明なものに限る. $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ は 1 次独立である.

(iii) $ \vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ となるときを考える. 条件を書き換えると

$\displaystyle \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$    

となる.非自明な 1 次関係であるから, $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は 1 次従属である.

例 1.57 (基本ベクトルの 1 次独立性)   基本ベクトル $ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\in\mathbb{R}^n$ は 1 次独立である. なぜなら, 1 次関係は

$\displaystyle c_1\vec{e}_1+c_2\vec{e}_2+\cdots+c_n\vec{e}_n= \begin{bmatrix}c_1...
...vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$    

となるので,係数は自明

$\displaystyle c_1=0,\quad c_2=0, \quad \cdots, \quad c_n=0$    

なものに限るからである.

例 1.58 (1 次独立の具体例)   $ \mathbb{R}^{4}$ のベクトル

$\displaystyle \vec{a}_{1}= \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\qu...
...d{bmatrix}\,,\quad \vec{a}_{3}= \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\,$    

は 1 次独立であるか考える. これらの 1 次関係

$\displaystyle c_{1}\vec{a}_{1}+ c_{2}\vec{a}_{2}+ c_{3}\vec{a}_{3}= \vec{0}$    

をみたす $ c_{1}$, $ c_{2}$, $ c_{3}$ を定める. 1 次関係を変形して

$\displaystyle c_{1} \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}+ c_{2} \begi...
... 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+ c_{3} \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ $\displaystyle =\vec{0}$    

であり,

$\displaystyle \begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$    

となり,

$\displaystyle A\vec{c}$ $\displaystyle =\vec{0}$    

と表される. 行列 $ A$ を簡約化すると

$\displaystyle A\to \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$    

である.よって

$\displaystyle \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$    

を得る. 係数は自明なもの

$\displaystyle c_1=0,\quad c_2=0,\quad c_3=0$    

に限るので, $ \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次独立である.

例 1.59 (1 次従属の具体例)   $ \mathbb{R}^4$ のベクトル

$\displaystyle \vec{a}_1= \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \...
... \end{bmatrix}, \quad \vec{a}_3= \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix}$    

は 1 次独立であるか考える. 1 次関係より,

$\displaystyle c_{1}\vec{a}_{1}+c_{2}\vec{a}_{2}+c_{3}\vec{a}_{3}=\vec{0}$    
$\displaystyle c_1 \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}+ c_2 \begin{bma...
...\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}+ c_3 \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix}$ $\displaystyle =\vec{0}$    
$\displaystyle \begin{bmatrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$ $\displaystyle =\vec{0}$    
$\displaystyle A\vec{c}$ $\displaystyle =\vec{0}$    

となる. 簡約化すると

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 ...
...c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$    

であるから,

$\displaystyle \vec{c}= \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2c \\ -3c \\ c \end{bmatrix}, \qquad \forall c\in\mathbb{R}$    

を得る. 1 次関係は

$\displaystyle (2c)\vec{a}_1+(-3c)\vec{a}_2+(c)\vec{a}_3$ $\displaystyle =\vec{0}$    
$\displaystyle 2\vec{a}_1-3\vec{a}_2+\vec{a}_3$ $\displaystyle =\vec{0}$    

となる.非自明な 1 次関係であるから, $ \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次従属である.

まとめ 1.60 (1 次独立性の判定)   ベクトル $ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}\in\mathbb{R}^{m}$ の 1 次独立性を考える. これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列を

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix} : m\times n$    

とおく.このとき $ \vec{c}$ に関する方程式

$\displaystyle c_{1}\vec{a}_{1}+c_{2}\vec{a}_{2}+\cdots+c_{n}\vec{a}_{n}= A\vec{c}= \vec{0}$    

の解の任意定数の個数は $ n-\mathrm{rank}\,(A)$ であるから,次の関係が成り立つ:

$\displaystyle n=\mathrm{rank}\,(A)$ $\displaystyle \quad \Leftrightarrow$   自明解 $ \vec{c}=\vec{0}$ のみをもつ   $\displaystyle \quad \Leftrightarrow$    $ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ は 1 次独立    
$\displaystyle n>\mathrm{rank}\,(A)$ $\displaystyle \quad \Leftrightarrow$   自明解と非自明解をもつ   $\displaystyle \quad \Leftrightarrow$    $ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ は 1 次従属    

定理 1.61 (1 次独立の性質)  

定理 1.62 (1 次独立の性質)  

定理 1.63 (1 次独立の性質)  


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Kondo Koichi
Created at 2004/12/13