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9 線形写像の合成写像

定義 2.37 (合成写像)   線形写像 $ f:U\to V$; $ \vec{y}=f(\vec{x})$$ g:V\to W$; $ \vec{z}=g(\vec{y})$ より定まる写像

$\displaystyle h: U\to W; \qquad \vec{z}=g(f(\vec{x}))$    

$ f$$ g$合成写像(composite)といい,

$\displaystyle h=g\circ f$    

と表記する.

定理 2.38 (線形写像の合成写像)   線形写像の合成写像もまた線形写像となる.

定理 2.39 (合成写像の表現行列)   線形写像 $ f$, $ g$ の表現行列をそれぞれ $ A$, $ B$ とする. このとき, 合成写像 $ h=g\circ f$ の表現行列は $ C=BA$ となる.

例 2.40 (合成写像の表現行列の具体例)  

  $\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}; \qquad \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x},\quad A:m\times n$    
  $\displaystyle g:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{l}; \qquad \vec{z}=g(\vec{y})=B\vec{y},\quad B:l\times m$    

を考える.このとき

  $\displaystyle h=g\circ f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{l};$    
  $\displaystyle \vec{z}= g\circ f(\vec{x})= g(f(\vec{x}))= B(A\vec{x})= BA\vec{x}= C\vec{x}, \quad C:l\times n$    

である. 表現行列は

$\displaystyle C=BA$    

となる.



Kondo Koichi
Created at 2004/12/13