2.19 三角関数

単位円(半径 $ 1$ で中心が原点 $ O$ にある円)$ C$ と 原点 $ O$ を通る直線 $ L$ を用意する. 円 $ C$ と直線 $ L$ の交点を $ P$ とする. 点 $ P$ より $ x$ 軸に下ろした垂線と $ x$ 軸との交点を $ Q$ とする. 点 $ (1,0)$$ Q'$ とし, $ Q'$ を通り $ y$ 軸に平行な直線と直線 $ L$ との交点を $ P'$ とする. $ Q'$ から点 $ P$ への円弧の(方向付き)長さを $ x$ とする. このとき, 点 $ P$ の座標を $ (\cos x,\sin x)$ と定義し, 点 $ P'$ の座標を $ (1,\tan x)$ と定義する. この定義により得られる関数を 三角関数(trigonometric function)と呼ぶ. 読み方は $ \sin x$, $ \cos x$, $ \tan x$ の順に sine, cosine, tangent である.

三角関数の巾乗 $ (\sin x)^n$$ \sin^n x$ のように略記する. しかし $ n=-1$ のときはこの表記は用いない. $ \sin^{-1}x$ は逆三角関数を意味する. このとき表記は $ (\sin x)^{-1}$$ 1/\sin x$ とするか 新たな記号

$\displaystyle \mathrm{cosec}\,x$ $\displaystyle =\frac{1}{\sin x}\,,$ $\displaystyle \sec x$ $\displaystyle =\frac{1}{\cos x}\,,$ $\displaystyle \cot x$ $\displaystyle =\frac{1}{\tan x}$ (57)

を用いる.

定理 2.46 (三角関数は単位円上の点)  

$\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1\,.$ (58)

(証明) 単位円の半径の長さは $ 1$ なので $ \overline{OP}^2=1$ より 導出される.

定理 2.47 (三角関数の偶奇)  

$\displaystyle \sin(-x)$ $\displaystyle =-\sin(x)\,,$ (59)
$\displaystyle \cos(-x)$ $\displaystyle =\cos(x)\,,$ (60)
$\displaystyle \tan(-x)$ $\displaystyle =-\tan(x)\,.$ (61)

$ \sin x$, $ \tan x$ は奇関数であり, $ \cos x$ は偶関数である.

定理 2.48 (三角関数の周期性)  

  $\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin(x)\,,$ (62)
  $\displaystyle \cos(x+2\pi)=\cos(x)\,,$ (63)
  $\displaystyle \tan(x+\pi)=\tan(x)\,.$ (64)

$ \sin x$, $ \cos x$ は周期 $ 2\pi$ の周期関数であり, $ \tan x$ は周期 $ \pi$ の周期関数である.

定理 2.49 (三角関数の加法公式)   三角関数の加法公式:

  $\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y\,,$ (65)
  $\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y\,,$ (66)
  $\displaystyle \tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x \tan y}\,.$ (67)

定理 2.50 (三角関数の性質)   三角関数どうしの互いの関係:

  $\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\,,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\ri...
...2}-x\right)=\sin x\,,\quad \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}\,.$ (68)

2.51 (三角関数の性質)   これを示せ.

(答え) 加法公式から導出される.

定理 2.52 (三角関数の合成)  

$\displaystyle a\,\sin x+b\,\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\theta)\,,\quad \theta=\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\,,$ (69)
$\displaystyle a\,\cos x+b\,\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\theta)\,,\quad \theta=\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\,.$ (70)

2.53 (三角関数の合成)   これを示せ.

(答え) 加法公式から導出される.

2.54 (三角関数のグラフ)   三角関数の概形を書け.

2.55 (三角関数の値)   次の値を求めよ.

  $\displaystyle \sin0\,,$   $\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}\,,$   $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}\,,$   $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}\,,$   $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}\,,$   $\displaystyle \sin\pi\,,$   $\displaystyle \sin2\pi\,,$ (71)
  $\displaystyle \cos0\,,$   $\displaystyle \cos\frac{\pi}{6}\,,$   $\displaystyle \cos\frac{\pi}{4}\,,$   $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}\,,$   $\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}\,,$   $\displaystyle \cos\pi\,,$   $\displaystyle \cos2\pi\,,$ (72)
  $\displaystyle \tan0\,,$   $\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}\,,$   $\displaystyle \tan\frac{\pi}{4}\,,$   $\displaystyle \tan\frac{\pi}{3}\,,$   $\displaystyle \tan\frac{\pi}{2}\,,$   $\displaystyle \tan\pi\,,$   $\displaystyle \tan2\pi\,.$ (73)

2.56 ($ n$ 倍角の公式)   $ \cos 2x$, $ \cos 3x$, $ \cos 4x$, $ \cdots$$ \cos x$ の多項式で表せ.

(答え)

$\displaystyle \cos 2x$ $\displaystyle = 2\cos^2x-1\,,$ (74)
$\displaystyle \cos 3x$ $\displaystyle = 4\cos^3x-3\cos x\,,$ (75)
$\displaystyle \cos 4x$ $\displaystyle = 8\cos^4x-8\cos^2x+1\,.$ (76)

2.57 ($ n$ 倍角の公式)   $ \cos^{2} x$, $ \cos^{3} x$, $ \cos^{4} x$, $ \cdots$$ \cos 2x$, $ \cos 3x$, $ \cos 4x$, $ \cdots$ の 線形結合で表せ.

(答え)

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos2x \\ \cos3x \\ \cos4x \end{bma...
...trix} \begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos^2x \\ \cos^3x \\ \cos^4x \end{bmatrix}$ (77)

より

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos^2x \\ \cos^3x \\ \cos^4x \end{...
...bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos2x \\ \cos3x \\ \cos4x \end{bmatrix}$ (78)

となるので

$\displaystyle \cos^2x$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\,,$ (79)
$\displaystyle \cos^3x$ $\displaystyle =\frac{1}{4}\cos3x+\frac{3}{4}\cos x\,,$ (80)
$\displaystyle \cos^4x$ $\displaystyle =\frac{1}{8}\cos4x+\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{8}\,$ (81)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日