3.3 導関数の計算

定理 3.8 (微分演算に関する性質)   関数 $ f=f(x)$, $ g=g(x)$ が微分可能なとき, 次の関係が成り立つ:
(1)
(和の微分) $ (f+g)'=f'+g'$.
(2)
(微分の線形性) $ (\alpha\,f+\beta\,g)'=\alpha\,f'+\beta\,g'$    ($ \alpha$, $ \beta$:定数).
(3)
(積の微分) $ (fg)'=f'g+fg'$.
(4)
(商の微分) $ \displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}}$     ($ g(x)\neq0$).
(5)
(合成関数の微分) $ y=f(g(x))$ のとき $ y=f(z)$, $ z=g(x)$ とおけば

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}= f'(z)\frac{dz}{dx}=f'(g(x))g'(x)\,.$ (204)

この演算規則をチェインルール(chain rule)と呼ぶ.
(6)
(逆関数の微分) $ y=f(x)$, $ x=f^{-1}(y)$ のとき

$\displaystyle \frac{dx}{dy}= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\quad}\,,\qquad \frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\,.$ (205)

3.9 (導関数の計算例)   次の関数の導関数を求めよ.

$\displaystyle y$ $\displaystyle =(x^2-1)(x^3+2)\,$ (206)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\frac{x-2}{x^2+x+2}\,$ (207)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =(3x^2-x-1)^4\,$ (208)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\sin^3 4x$ (209)

3.10   微分演算に関する性質を示せ.


(証明)(1) $ F(x)=f(x)+g(x)$ とおく. 定義に従い計算すると

$\displaystyle (f+g)'$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$    
  $\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)$ (210)

を得る.

(2) $ F(x)=\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)$ とおく. 定義に従い計算すると

$\displaystyle (f+g)'$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0} \frac{\alpha\,f(x+h)+\beta\,g(x+h)-\alpha\,f(x)-\beta\,g(x)}{h}$    
  $\displaystyle =\alpha\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \beta\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\alpha\,f'(x)+\beta\,g'(x)$ (211)

を得る.

(3) $ F(x)=f(x)g(x)$ とおく.定義に従い計算すると

$\displaystyle (fg)'$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+ \lim_{h\to0}f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times\lim_{h\to0}g(x+h)+ f(x)\times\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ (212)
  $\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ (213)

を得る.

(4) $ F(x)=f(x)/g(x)$ とおく.定義に従い計算すると,

$\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)/g(x+h)-f(x)/g(x)}{h}$ (214)
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\,g(x+h)g(x)}$ (215)
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x)-f(x)(g(x+h)-g(x))}{h\,g(x+h)g(x)}$ (216)
  $\displaystyle = \lim_{h\to0} \frac{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}} {g(x+h)g(x)}$ (217)
  $\displaystyle = \frac{\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)- f(x)\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}} {\displaystyle{\lim_{h\to0}g(x+h)g(x)}}$ (218)
  $\displaystyle =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ (219)

を得る.

(5) $ F(x)=f(g(x))$ とおく.定義に従い計算すると

$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+g(x+h)-g(x))-f(g(x))}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+g(x+h)-g(x))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ (220)

を得る. ここで $ \tilde{h}=g(x+h)-g(x)$ とおくと,

$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(g+\tilde{h})-f(g)}{\tilde{h}} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{f(g+\tilde{h})-f(g)}{\tilde{h}} \times \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ (221)

となる.ここで

$\displaystyle \lim_{h\to0}\tilde{h}$ $\displaystyle = \lim_{h\to0}(g(x+h)-g(x))= \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\times h$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\times \lim_{h\to0} h$    
  $\displaystyle =g'(x)\times0=0$ (222)

が成り立つ.よって $ h\to0$ のとき $ \tilde{h}\to0$ である. 以上より

$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle = \lim_{\tilde{h}\to0}\frac{f(g+\tilde{h})-f(g)}{\tilde{h}} \times \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}= f'(g(x))g'(x)\,.$ (223)

を得る.

(6) $ y=f(x)$, $ x=f^{-1}(y)$ より

$\displaystyle y$ $\displaystyle =f(x)=f(f^{-1}(y))$ (224)

となる. $ y=f(f^{-1}(y))$ の両辺は $ y$ に関する関数である. 両辺を $ y$ で微分すると

$\displaystyle \frac{d}{dy}y$ $\displaystyle =f'(f^{-1}(y))\frac{df^{-1}(y)}{dy}$ (225)
$\displaystyle 1$ $\displaystyle =f'(x)\frac{dx}{dy}$ (226)
$\displaystyle 1$ $\displaystyle =\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}$ (227)

を得る.よって

$\displaystyle \frac{dx}{dy}= \frac{d}{dx}f^{-1}(y)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\quad}= \frac{1}{f'(x)}= \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ (228)

となる.

Kondo Koichi
平成17年8月31日