3.5 自然数巾の巾関数の微分

定理 3.13 (巾関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1} \quad($$ n$:自然数$\displaystyle )$ (231)

3.14   これを示せ.


(証明) $ y=f(x)=x^{n}$ とおき定義に従い計算すると,

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$ (232)

を得る.ここで

$\displaystyle (x+h)^n$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k}$ (233)
  $\displaystyle = x^n+n\,x^{n-1}h+\frac{1}{2}n(n-1)\,x^{n-2}h^2+\cdots+n\,xh^{n-1}+h^{n}$ (234)
  $\displaystyle =x^{n}+n\,x^{n-1}h+h^2\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}$ (235)

であることを用いると

$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{(x+h)^n-x^n}{h}= n\,x^{n-1}+h\left\{\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}\right\}$ (236)

となる. $ h\to0$ のとき $ n\,x^{n-1}$ の項は生き残り, その後ろの項は消える. よって

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= n\,x^{n-1}$ (237)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日