3.7 有理数巾の巾関数の微分

定理 3.17 ($ m$ 乗根関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sqrt[m]{x}= \frac{d}{dx}\,x^{\frac{1}{m}}= \frac{\sqrt[m]{x}}{m\,x}= \frac{1}{m}\,x^{\frac{1}{m}-1} \quad($$ m$:自然数$\displaystyle )$ (244)

3.18   これを示せ.


(証明) $ y=f(x)=\sqrt[m]{x}=x^{\frac{1}{m}}$ とおく. このとき

$\displaystyle f(x+h)-f(x)$ $\displaystyle =(x+h)^{\frac{1}{m}}-x^{\frac{1}{m}}$ (245)

である. ここで

$\displaystyle a^{m}-b^{m}$ $\displaystyle =(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+\cdots+ab^{m-2}+b^{m-1})$ (246)
  $\displaystyle =(a-b)\sum_{k=1}^{m}a^{m-k}b^{k-1}$ (247)
$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \quad a-b=\frac{a^{m}-b^{m}}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}a^{m-k}b^{k-1}}}$ (248)

であることを用いる. $ a=(x+h)^{\frac{1}{m}}$, $ b=x^{\frac{1}{m}}$ とおくと

$\displaystyle f(x+h)-f(x)$ $\displaystyle = \frac{\left((x+h)^{\frac{1}{m}}\right)^{m}-\left(x^{\frac{1}{m}...
...} {\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$ (249)
  $\displaystyle = \frac{h} {\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$ (250)

を得る.よって

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$ (251)
  $\displaystyle = \frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+0)^{m-k}x^{k-1}\...
...frac{m-1}{m}}}}= \frac{1}{m\,x^{\frac{m-1}{m}}}= \frac{1}{m}\,x^{\frac{1}{m}-1}$ (252)

となる.

Kondo Koichi
平成17年8月31日