3.9 指数関数の微分

定理 3.21 (指数関数の微分)  

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,a^{x}$ $\displaystyle =(\log a)\,a^{x}\,$ (259)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{x}$ $\displaystyle =e^{x}\,$ (260)

関数 $ e^{x}$ は微分演算 $ \displaystyle{\frac{d}{dx}}$ に関して恒等的である.

3.22   これを示せ.


(証明) $ y=f(x)=a^{x}$ とおく. このとき逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\log_{a}y= \frac{\log y}{\log a}\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\frac{\quad\displaystyle{\frac{1}{y}}\quad}{\log a}= \frac{1}{(\log a)y}$ (261)

である.これと逆関数の微分公式より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\qu...
...\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{1}{(\log a)y}}\quad}= (\log a)y=(\log a)a^{x}$ (262)

を得る.



Kondo Koichi
平成17年8月31日