4.7 等比数列の極限
例 4.22 (等比数列の極限) 等比数列の極限を考える. (i)
, (ii)
, (iii)
の場合に分けて議論する. まず,(i)
のとき,常に
である.極限は
である. つぎに,(iii)
のとき,
とおく.このとき
をみたす.
を
を用いて書き下すと
(429)
を得る.ここでは 二項係数(binomial coefficient)であり,
(430)
と定義する.は階乗(fractorial number)であり,
(431)
と再帰的に定義する.をあらためて書き直すと
(432)
となる. 第三項以降を足したものは正となるので,
(433)
を得る.のとき
より
を得る. 最後に,(i)
のときを考える.
を用いて
を
と置き換える. このとき
を満たす.
を用いて
を書き下すと,
(434)
を得る. 不等式
(435)
が成立する.のとき
であるから, はさみうちの定理より
を得る. 以上をまとめると
(436)
が求まる.
問 4.23 (極限の計算) 次の漸化式で与えられる数列の一般項と極限を求めよ.
- (1)
.
- (2)
.
(答え) (1)
(437)
(438)
(2)
(439) (440) (441)
かつ
のとき
は 0 に収束する. それ以外は発散する.
Kondo Koichi
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平成17年8月31日