4.7 等比数列の極限

4.22 (等比数列の極限)   等比数列 $ a_{n}=r^{n}\ (r>0)$ の極限を考える. (i) $ r>1$, (ii) $ r=1$, (iii) $ r>1$ の場合に分けて議論する. まず,(i) $ r=1$ のとき,常に $ a_{n}=1$ である.極限は $ 1$ である. つぎに,(iii) $ r>1$ のとき, $ r=1+h\ (h>0)$ とおく.このとき $ r>1$ をみたす. $ a_{n}$$ h$ を用いて書き下すと

$\displaystyle a_{n}$ $\displaystyle =(1+h)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}h^k$ (429)

を得る.ここで $ \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}$二項係数(binomial coefficient)であり,

$\displaystyle \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}$ $\displaystyle =\frac{n!}{(n-k)!k!}$ (430)

と定義する. $ n!$階乗(fractorial number)であり,

$\displaystyle n!=n\times(n-1)!\,, \qquad 0!=1$ (431)

と再帰的に定義する. $ a_{n}$ をあらためて書き直すと

$\displaystyle a_{n}$ $\displaystyle = (1+nh)+\left(\frac{n(n-1)}{2}\,h^2+ \cdots+n\,h^{n-1}+h^n\right)$ (432)

となる. 第三項以降を足したものは正となるので,

$\displaystyle a_{n}>1+nh$ (433)

を得る. $ n\to\infty$ のとき $ 1+nh\to\infty$ より $ a_{n}\to\infty$ を得る. 最後に,(i) $ r<1$ のときを考える. $ h>0$ を用いて $ r$$ r=1/(1+h)$ と置き換える. このとき $ r<1$ を満たす. $ h$ を用いて $ a_{n}$ を書き下すと,

$\displaystyle a_{n}$ $\displaystyle =\frac{1}{(1+h)^n}= \frac{1}{(1+nh)+\left(\frac{n(n-1)}{2}\,h^2+\cdots+h^n\right)} <\frac{1}{1+nh}$ (434)

を得る. 不等式

$\displaystyle 0<a_{n}<\frac{1}{1+nh}$ (435)

が成立する. $ n\to\infty$ のとき $ 1/(1+nh)\to0$ であるから, はさみうちの定理より $ a_{n}\to 0$ を得る. 以上をまとめると

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} r^{n}= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (r<1)\\ [1em] 1 & (r=1)\\ [1em] \infty & (r>1) \end{array} \right.$ (436)

が求まる.

4.23 (極限の計算)   次の漸化式で与えられる数列の一般項と極限を求めよ.
(1)
$ a_{n+1}=p\,a_{n}+q$.
(2)
$ a_{n+2}=2p\,a_{n+1}+q\,a_{n}$.

(答え) (1)

$\displaystyle a_{n}$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{lc} \displaystyle{ p^{n-1}\left(a_{1}-\fra...
...ht)} & (p\neq1) \\ [1em] \displaystyle{(n-1)q+a_{1}} & (p=1) \end{array}\right.$ (437)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \infty & (\vert p\vert\geq1) \\ [1em] 0 & (\vert p\vert<1) \end{array} \right.$ (438)

(2)

  $\displaystyle a_{n}=c_{1}\,\lambda_{1}^{n-1}+c_{2}\,\lambda_{2}^{n-1}$ (439)
  $\displaystyle \lambda_{1}=p+\sqrt{p^2+q}\,,\qquad \lambda_{2}=p-\sqrt{p^2+q}\,,$ (440)
  $\displaystyle c_{1}=\frac{a_{1}\lambda_{2}-a_{2}}{-2\sqrt{p^2+q}}\,,\quad c_{2}=\frac{a_{2}-a_{1}\lambda_{1}}{-2\sqrt{p^2+q}}$ (441)

$ \vert\lambda_{1}\vert<1$ かつ $ \vert\lambda_{2}\vert<1$ のとき $ a_{n}$0 に収束する. それ以外は発散する.

Kondo Koichi
平成17年8月31日