1.5 上限,下限

定義 1.11 (上限,下限)   集合 $ X\subset\mathbb{R}$ に対して
$ \forall x\in X$, $ x\le M $ をみたす最小な $ M$ が存在      $ \Leftrightarrow$      $ \sup X = M$
$ \forall x\in X$, $ m \le x$ をみたす最大な $ m$ が存在      $ \Leftrightarrow$      $ \inf X = m$
$ \sup X$$ X$上限(supremum)$ \inf X$$ X$下限(infimum)という.

1.12 (上限,下限の具体例)  

  $\displaystyle \sup (1,2] = 2\,,$   $\displaystyle \inf (1,2] = 1$ (16)
  $\displaystyle \sup \{x^2\,\vert\,-1\le x\le 1 \} = 1\,,$   $\displaystyle \inf \{x^2\,\vert\,-1\le x\le 1 \} = 0$ (17)
  $\displaystyle \sup \{(-1)^{n}\,\vert\,n\in\mathbb{N} \} = 1\,,$   $\displaystyle \inf \{(-1)^{n}\,\vert\,n\in\mathbb{N} \} = -1$ (18)



Kondo Koichi
平成17年8月31日