4.17 絶対収束級数
定理 4.65 (絶対収束級数の収束定理) 級数が収束するとき,級数
も収束する.
(証明)有限部分和
(536)
を考える. 絶対値の性質より
(537)
が成り立つ.これより
(538)
となる.より
は正項級数である. 正項級数
が収束するとき
もまた収束する. よって
が収束するとき,
も収束する.
定義 4.66 (絶対収束級数)が収束し,かつ
も収束するとき,
は絶対収束する(absolutely convergent)という. このとき級数
を 絶対収束級数(absolutely convergent series)と呼ぶ.
定義 4.67 (条件収束級数)は収束するが
が収束しない場合は,
は条件収束する(conditionally convergent)という. このとき級数
は 条件収束級数(conditionally convergent series)と呼ぶ.
例 4.68 (絶対収束級数の具体例) 等比級数の例題で示したようには収束する. 交項級数の例題で示したように
は収束する. よって
は 絶対収束級数である.
例 4.69 (条件収束級数の具体例) 交項級数は 前述の例題で示したように収束する.
は調和級数であり 前述の例題のとおり発散する. よって
は 条件収束級数である.
例 4.70 (絶対収束級数の収束定理の具体例) 級数
(539)
を考える. このとき
(540)
が成り立つ. ダランベールの判定法の例題で示したように,は収束する.
が収束するとき
も収束するので,
が収束するとき
もまた収束する.
は絶対収束級数である.
Kondo Koichi
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平成17年8月31日