2.6 $n$ 変数関数の偏微分

定義 2.30 (多変換数の導関数)   $n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(\vec{x})$ の 偏導関数は

$$\frac{\partial f}{\partial x_j} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_1,\cdots,x_j+h,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n)}{h}$$

$$= \lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{x}+h\vec{e}_j)-f(\vec{x})}{h}$$

と定義する． ただし，

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}... ...uad \cdots, \quad \vec{e}_n= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$$

とおく．

例 2.31 (多変換数の導関数)   関数 $w=f(x,y,z)=\sin(2x-y)\cos(y+3z)$ の 偏導関数は，

$$w_{x}= \frac{\partial f}{\partial x} =2\cos(2x-y)\cos(y+3x),$$

$$w_{y}= \frac{\partial f}{\partial y} =-\cos(2x-y)\cos(y+3x)-\sin(2x-y)\sin(y+3z) =-\cos(2x-2y-3z),$$

$$w_{z}= \frac{\partial f}{\partial z} =-3\sin(2x-y)\sin(y+3x)$$

となる．

例 2.32 (多変換数の導関数)   関数 $r=r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ の 偏導関数は，

$$r_x = (\sqrt{x^2+y^2+z^2})_x= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2)_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{x}{r},$$

$$r_y = (\sqrt{x^2+y^2+z^2})_y= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2)_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{y}{r},$$

$$r_z = (\sqrt{x^2+y^2+z^2})_z= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2)_z = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{z}{r}$$

となる．

Kondo Koichi
平成18年1月18日