2.10 全微分

定義 2.50 (全微分可能)   関数 $ z=f(x,y)$ において, 点 $ (x,y)$ から点 $ (x+\Delta x,y+\Delta y)$ への 増分

$\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$    

に対して

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+o(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} \quad (\rho\to 0)$    

をみたす $ \alpha$, $ \beta$ が存在するとき, 関数 $ z=f(x,y)$全微分可能(total differentiable)であるという. このとき,

$\displaystyle dz=\alpha\,dx+\beta\,dy$    

と表記し,$ dz$$ z=f(x,y)$全微分 または単に微分という.

2.51 (微分可能)   関数 $ z=f(x,y)=xy$ は全微分可能であるか考える. まず,増分は

$\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)= (x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy= y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y$    

である.この増分が

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$    

の形をみたすと仮定する. このとき式変形すると

$\displaystyle \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \frac{(y-\alpha)\Delta x+(x-\beta)\Delta y+\Delta x\Delta y} {\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$    

となる.ここで $ \Delta x=\rho\cos\theta$, $ \Delta y=\rho\sin\theta$ とおき, $ \rho\to 0$ の極限をとると,

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$ $\displaystyle = \lim_{\rho\to0} \frac{(y-\alpha)\rho\cos\theta+ (x-\beta)\rho\sin\theta+\rho^2\sin\theta\cos\theta} {\rho}$    
  $\displaystyle = \lim_{\rho\to0} (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta+\rho\sin\theta\cos\theta$    
  $\displaystyle = (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta$    

を得る. $ \displaystyle{\lim_{\rho\to 0}\frac{\epsilon}{\rho}=0}$ となるためには

$\displaystyle \alpha=y, \qquad \beta=x$    

とおく. よって,

$\displaystyle \Delta z=y\,\Delta x+x\,\Delta y+o(\rho) \quad (\rho\to0)$    

が成り立つ. 関数 $ z=xy$ は全微分可能である. また,$ z=xy$ の全微分は

$\displaystyle dz=y\,dx+x\,dy$    

となる.

Kondo Koichi
平成18年1月18日