2.12 全微分と偏微分

定理 2.53 (全微分可能の必要条件)   関数 $z=f(x,y)$ が全微分可能であれば， $f$ は偏微分可能であり，

$$dz= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy$$

が成り立つ．

（証明）     関数 $z=f(x,y)$ が全微分可能であれば，

$$\Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho) \quad(\rho\to0), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

が成り立つ． $x$ 軸に沿って極限をとる． $\Delta y=0$, $\Delta x\to 0$ とする． このとき， $\rho=\vert\Delta x\vert$ であるから，

$$\Delta z=\alpha\Delta x+o(\vert\Delta x\vert) \quad(\vert\Delta x\vert\to0)$$

が成り立つ． これは

$$\frac{\Delta z}{\Delta x}-\alpha= \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \q... ...tarrow\quad \lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{\Delta z}{\Delta x}-\alpha\right)=0$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \alpha= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delt... ...a x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}= \frac{\partial f}{\partial x}$$

と等価である． また，$y$ 軸に沿って極限をとる． $\Delta x=0$, $\Delta y\to 0$ とすると， 同様にして $${\beta=\frac{\partial f}{\partial x}}$$ を得る．

定理 2.54 (全微分可能の十分条件)   関数 $z=f(x,y)$ において， 偏導関数 $f_x(x,y)$, $f_y(x,y)$ が存在し， かつこれらが連続関数であれば， $z=f(x,y)$ は全微分可能である． （注意）逆は成り立たない．

注意 2.55 (全微分可能の十分条件)   全微分可能となる十分条件は他にもあるが， 上の定理が一番実用的である．

例 2.56 (全微分)   関数 $z=f(x,y)=x^2e^{xy}$ は 偏導関数

$$f_x(x,y) =(x^2e^{xy})_x=2xe^{xy}+x^2ye^{xy}=(2x+x^2y)e^{xy},$$

$$f_y(x,y) =(x^2e^{xy})_y=x^3ye^{xy}$$

が存在し，これらは連続関数である． よって $f(x,y)$ は全微分可能である． また，$z$ の全微分は

$$dz=f_x(x,y)\,dx+f_y(x,y)\,dy= (2x+x^2y)e^{xy}\,dx+x^3e^{xy}\,dy = e^{xy}\left( (2x+x^2y)\,dx+x^3\,dy \right)$$

となる． （注意）微分 $dx$, $dy$ と関数 $e^{xy}$, $2x+x^2y$, $x^3$ の 書く順を入れ替えてはならない． つまり， $dz=((2x+x^2y)dx+x^3dy)e^{xy}$ や $dz=e^{xy}(dx\,(2x+x^2y)+dy\,x^3)$ は 誤った表記である．

例 2.57 (全微分)   関数 $z=x^4y+x^2y^3+xy^4$ は 偏導関数

$$z_x=4x^3y+2xy^3+y^4, \qquad z_y=x^4+3x^2y^2+4xy^3$$

が存在し，かつこれらは連続関数である． よって $z$ は全微分可能であり，$z$ の全微分は

$$dz= z_x\,dx+z_y\,dy= (4x^3y+2xy^3+y^4)\,dx+ (x^4+3x^2y^2+4xy^3)\,dy$$

となる．

例 2.58 (全微分)   関数 $${ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)}$$ は 偏導関数

$$\theta_x=\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad \theta_y=\frac{x}{x^2+y^2},$$

が存在し，かつこれらは原点を除き連続関数である． よって $z$ は原点を除き全微分可能であり，$z$ の全微分は

$$d\theta= \theta_x\,dx+\theta_y\,dy= \frac{-y}{x^2+y^2}\,dx+ \frac{x}{x^2+y^2}\,dy = \frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$$

となる． （注意）微分 $dx$, $dy$ と関数 $-y$, $x$ の 書く順を入れ替えてはならない． また，分母 $x^2+y^2$ の部分は微分 $dx$, $dy$ の 前から $(x^2+y^2)^{-1}$ が掛けられているという意味で あることに注意する． つまり，以下の表記はすべて誤った表記である：

$$d\theta= \frac{-dx\,y+dy\,x}{x^2+y^2}= (-y\,dx+x\,dy)\frac{1}{x^2+y^2}= (-dx\,y+dy\,dx)\frac{1}{x^2+y^2}.$$

例 2.59 (全微分)   関数 $u=xy+yz+zx$ は 偏導関数

$$u_x=u+z, \quad u_y=x+z, \quad u_z=y+x$$

が存在し，かつこれらは連続関数である． よって $u$ は全微分可能であり，$u$ の全微分は

$$du= u_x\,dx+u_y\,dy+u_z\,dz= (u+z)\,dx+ (x+z)\,dy+ (x+y)\,dz$$

となる．

問 2.60 (全微分)   次の関数の全微分を求めよ．

$$(1)\quad z=x\cos y-y\cos x \qquad (2)\quad w=xy+yz+zx$$

Kondo Koichi
平成18年1月18日