2.30 1 変数の陰関数

定義 2.122 (陰関数)   変数 $ x$, $ y$ が条件 $ F(x,y)=0$ をみたすとき, $ y$$ x$ の関数 $ y=f(x)$ であり, または $ x$$ y$ の関数 $ x=g(y)$ であるとみなせる. すなわち,

$\displaystyle F(x,f(x))=0, \qquad F(g(y),y)=0$    

により定義される関数 $ f(x)$, $ g(y)$ を, $ F(x,y)=0$ で定義される陰関数(implicit function)という.

注意 2.123 (陽関数)   関数 $ y=f(x)=ax+b$ $ y=f(x)=x^2$ などの関数は 陽に(explicit)表されているという.

定理 2.124 (陰関数の微分)   条件 $ F(x,y)=0$ で定義される陰関数 $ y=f(x)$ の導関数は, $ F_y(x,y)\neq0$ のとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$    

で与えられる.


(証明)     関数 $ y=f(x)$$ F(x,y)=0$ に代入すると

$\displaystyle F(x,f(x))=0$    

である.両辺を $ x$ で偏微分すると

0 $\displaystyle =\frac{d}{dx}F(x,y)= F_x(x,y)\frac{\partial x}{\partial x}+ F_y(x,y)\frac{\partial y}{\partial x}= F_x(x,y)+ F_y(x,y)\frac{dy}{dx}$    

となるので, $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}}$ を得る.

2.125 (陰関数)   条件 $ xe^{-y}=y\sin x$ で定義される陰関数 $ y=f(x)$ の 導関数を求める.条件 $ xe^{-y}=y\sin x$ の両辺を $ x$ で微分すると

  $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(xe^{-y}\right)= \frac{d}{dx}\left(y\sin x\right) \quad\Rightarrow\quad x'(e^{-y})+x(e^{-y})'= y'(\sin x)+y(\sin x)'$    
  $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad e^{-y}-xy'e^{-y}= y'\sin x+y\cos x \quad\Rightarrow\quad e^{-y}-y\cos x= (\sin x+xe^{-y})y'$    

となるので,

$\displaystyle y'=\frac{e^{-y}-y\cos x}{\sin x+xe^{-y}}$    

を得る.

2.126 (陰関数)   $ xy$ 平面内の円 $ F(x,y)=x^2+y^2-1=0$ を考える. このとき,$ y$$ x$ の関数 $ y=f(x)$ とみなされる. これを陽に書くと

$\displaystyle y=f(x)=\pm\sqrt{1-x^2}$    

となる.これは $ 2$ 価関数である. 多価関数のままでは取り扱いに面倒が多い. $ y=f(x)$ を陰関数として取り扱い導関数を求める. 条件 $ F(x,y)=0$$ y=f(x)$ を代入すると

$\displaystyle x^2+f(x)^2-1=0$    

である.両辺を $ x$ で微分すると

$\displaystyle 2x+2f(x)f'(x)=0$    

となり,

$\displaystyle y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$    

を得る. さらに微分すると 2 階導関数と 3 階導関数は

  $\displaystyle y''=f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\righ...
...y'}{y^2}= -\frac{1}{y}-\frac{x^2}{y^3}= -\frac{(x^2+y^2)}{y^3}= -\frac{1}{y^3},$    
  $\displaystyle y'''=f'''(x)=\frac{d^3y}{dx^3}= \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{y^3}\right)= \frac{3y'}{y^4}= -\frac{3x}{y^5}$    

となる. $ y$ は 2 価関数であるから $ y'$, $ y''$, $ y'''$ も 2 価関数である.

次に,円 $ F=0$ 上の 点 $ (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ において, 関数 $ y=f(x)$ を点 $ x=\frac{1}{2}$ まわりで テイラー展開する. $ x=\frac{1}{2}$, $ y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であることに 注意すると

  $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad f'\left(\frac...
...t(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5}= -\frac{16}{3\sqrt{3}}$    

となるので,テイラー展開は

$\displaystyle y$ $\displaystyle =f\left(\frac{1}{2}\right)+ f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\fr...
...ht)+ \frac{1}{2}f''\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \cdots$    
  $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{8}{3\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)- \frac{8}{3\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \cdots$    

と得られる.

2.127 (陰関数)   条件

$\displaystyle F(x,y)=x^3+3xy+4xy^2+y^2+y-2=0$    

により定義される陰関数 $ y=f(x)$ を考える. $ y$ は陽に書くと, 2 次方程式

$\displaystyle (4x+1)y^2+(3x+1)y+(x^3-2)=0$    

を解いて,

$\displaystyle y=f(x)=\frac{3x+1\pm\sqrt{(3x+1)^2-4(4x+1)(x^3-2)}}{8x+2}$    

と表される. しかし,この形では取り扱いが面倒であるから, 陰関数として取り扱う. 導関数 $ y'=f'(x)$

$\displaystyle F_x=3x^2+3y+4y^2, \quad F_y=3x+8xy+2y+1$    

を用いて,

$\displaystyle y'=f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}= -\frac{3x^2+3y+4y^2}{3x+8xy+2y+1}$    

と求まる.

2.128 (陰関数)   条件 $ F(x,y)=x^3+xy^2-2=0$ で定義される陰関数 $ y=f(x)$ を考える. 条件 $ x^3+xy^2-2=0$ の両辺を $ x$ で微分すると

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad 0=(x^3+xy^2-2)'=(x^3)'+x'y^2+x(y^2)'+0= 3x^2+y^2+2xyy'$    

となる.よって

$\displaystyle y'=-\frac{3x^2+y^2}{2xy}$    

を得る.(☆)をさらに $ x$ で微分すると

0 $\displaystyle =(3x^2+y^2+2xyy')'= 3(x^2)'+(y^2)'+2(x)'yy'+2x(y)'y'+2xy(y')'$    
  $\displaystyle =6x+2yy'+2yy'+2xy'^2+2xyy''= 6x+4yy'+2xy'^2+2xyy''$    
  $\displaystyle = 6x+4y\left(-\frac{3x^2+y^2}{2xy}\right)+ 2x\left(-\frac{3x^2+y^2}{2xy}\right)^2+2xyy''$    

となる.両辺に $ (2xy)^2$ を掛けてまとめると

0 $\displaystyle =6x(2xy)^2-4y(3x^2+y^2)(2xy)+2x(3x^2+y^2)+2xyy''(2xy)^2$    
  $\displaystyle =9x^4-3y^4+6x^2y^2+4x^2y^3y''= 3(3x^2-y^2)(x^2+y^2)+4x^2y^3y''$    

となる.また条件より $ x^2+y^2=2/x$ であることを用いると

$\displaystyle y''=-\frac{3(3x^2-y^2)(x^2+y^2)}{4x^2y^3}= -\frac{3(3x^2-y^2)}{2x^3y^3}$    

を得る.

曲線 $ F=0$ 上の点 $ (1,1)$ において,関数 $ y=f(x)$$ x=1$ の まわりでテイラー展開する. $ (x,y)=(1,1)$ であることを用いて

$\displaystyle f(1)=1, \quad f'(1)=-2, \quad f''(1)=-3$    

であるから,

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2+\cdots =1-2(x-1)-\frac{3}{2}(x-1)^2+\cdots$    

と得られる.

2.129 (陰関数)   次の条件で定義される陰関数 $ y=f(x)$ の導関数を求めよ.

(1)     $ x^3+3x^2y+2xy^2+3y^3=4$      (2)     $ x+y=e^{xy}$      (3)     $ \displaystyle{\log(x^2+y^2)=2\tan^{-1}\frac{y}{x}}$

Kondo Koichi
平成18年1月18日