2.35 極値
定義 2.149 (極値) 関数が, 点
とその任意の近傍の点
に対して
をみたすとき,は点
で 極大値
をとるという. また,
をみたすとき,は点
で 極小値
をとるという. 極大値,極小値を総称して極値という.
定理 2.150 (極値の必用条件) 関数が点
で極値をとるとき,
が成り立つ. (注意)逆は成り立たない.
(証明) 平面
と曲面
との共有点からなる曲線
は
についての 1 変数関数であり,
が極値をとるとき
も極値をとる. よって,
となる. 同様にして,平面
を考えると
を得る.
注意 2.151 (極値と接平面) 関数は点
で極値をとるとする. このとき
,
であるから,
を点
のまわりでテイラー展開すると
となり,1 次の項は存在しない. また, 曲面の点
における接平面の方程式は
となり,法線ベクトルは
である.接平面は平面に平行である.
例 2.152 (極値の計算例) 関数の極値を考える. 連立方程式
を解くと候補の点を得る. このとき点
とその任意の近傍の点
に対して,
が成り立つ. よって関数は極小値
をとる.
例 2.153 (鞍点) 関数の極値を考える. 連立方程式
を解くと候補の点を得る. しかし,
は極値とはならない. なぜなら,点
と
軸方向にずれた近傍の点
に対しては,
となり,は極小となる. 一方, 点
と
軸方向にずれた近傍の点
に対しては,
となり,は極大となる. このようにある方向では極小であり, また別の方向では極大となる点のことを 鞍点(saddle point)という.
![]()
定理 2.154 (極値) 関数において点
が
,
をみたすとき,
が極値となるための判定条件は次の通りである. ただし,
とおく.
- (i).
,
のとき,
は点
で極小値をとる.
- (ii).
,
のとき,
は点
で極大値をとる.
- (iii).
のとき,
は点
で極値をとらない.
- (iv).
のとき,個別に判定する.
(証明) typing...
例 2.155 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解くと極値の候補としてを得る.このとき,
となる. よって,は極小値である.
例 2.156 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解くと極値の候補としてを得る.このとき,
となる.であるから判別式
を用いて極値となるかは判定できない. そこで,点
と その近傍の点
,
を考える. ただし,
とする. このとき,
が成り立つ. 点から
軸正の方向には増加傾向であり,
軸負の方向には減少傾向となるので,
は極値ではない.
![]()
例 2.157 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解くと極値の候補としてを得る.このとき,
となる. よって,は極小値である.
例 2.158 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解く. 第 1 式をと変形して第 2 式に代入すると
となる.これを解くと,極値の候補として
を得る.このとき,
を用いて極値であるか判定する. まず,の場合.
より
は極値ではない. 次に,
の場合.
,
より,
は極大値である.
![]()
問 2.159 (極値) 次の関数の極値を求めよ.(1)
(2)
Kondo Koichi
![]()
![]()
平成18年1月18日