3.2 累次積分

定義 3.12 (簡単な領域)   領域 $ D$

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,\,\varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x)}\,\right\}$    

と表されるとき, $ D$$ x$ に関して簡単な領域という.

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{c\leq y\leq d,\,\psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y)}\,\right\}$    

と表されるとき, $ D$$ y$ に関して簡単な領域という.

定理 3.13 (累次積分)   領域 $ D$$ x$ に関して単純なとき, 多重積分は定積分

$\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{a}^{b}\left\{ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy \right\}dx$    

により与えられる. 領域 $ D$$ y$ に関して単純なとき, 多重積分は定積分

$\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{c}^{d}\left\{ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx \right\}dy$    

により与えられる. これらの積分を累次積分という.

注意 3.14 (累次積分)   累次積分は省略して次のように表記する:

  $\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{a}^{b}\!\!\left\{ \int_{\varphi_1(x)...
...(x,y)\,dy= \int_{a}^{b}\!\!dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\!\!dy\,f(x,y),$    
  $\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{c}^{d}\!\!\left\{ \int_{\psi_1(y)}^{...
...(y)}\!\!f(x,y)\,dx= \int_{c}^{d}\!dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\!\!dx\,f(x,y).$    

\fbox{\vrule height5cm width0em depth0.1emFigure. typing...} \fbox{\vrule height5cm width0em depth0.1emFigure. typing...}
$ x$ に関して単純な領域 $ y$ に関して単純な領域

Kondo Koichi
平成18年1月18日