3.9 極座標への置換積分

3.46 (多重積分の変数変換)   多重積分

$\displaystyle I=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)$    

を求める. 積分変数を

$\displaystyle x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta$    

とおく. このとき極座標への座標変換のヤコビアンは

$\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \det \begin{bmatrix}\fr...
...{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r$    

であり,領域 $ D$ $ (r,\theta)$ で表すと,

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$    

となる. これらより,

  $\displaystyle \iint_D(x^2+y^2)\,dxdy= \iint_E((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2) ...
...\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right\vert\,drd\theta= \iint_Er^3\,drd\theta$    
  $\displaystyle = \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^3\,dr= \left(\int_{0}^{2\pi...
...ht1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^4}{4}}\,\right]_{0}^{a}=\frac{\pi a^4}{2}$    

を得る.

注意 3.47 (極座標の面素)   直交座標 $ xy$ から極座標 $ r\theta$ への変換で, 面素は $ dS=dxdy=rdrd\theta$ と変換される. $ xy$ 座標では辺の長さが $ dx$$ dy$ の長方形の面積であり, $ r\theta$ 座標では辺の長さが $ dr$$ rd\theta$ (半径 $ r$,角 $ d\theta$ の円弧の長さ)の 長方形の面積となる.

3.48 (多重積分の変数変換)   領域 $ D$$ x$ に関して単純な領域とみなし, 多重積分を

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{-1}^{1}dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\,(x^2+y^2)$    

により求めよ.

\includegraphics[width=0.35\textwidth]{chikan-polar2-D.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{chikan-polar2-rtheta.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{chikan-polar2-E.eps}
(a) 領域 $ D$ (b) $ r\theta$ 座標 (c) 領域 $ E$
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{chikan-polar2-I.eps} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{chikan-polar2-Ir.eps}
(d) $ xy$ 座標での $ I$ (e) $ r\theta$ 座標での $ I$

Kondo Koichi
平成18年1月18日