1.5 演習問題 〜 直線,平面

1.18 (直線)   次の $ \mathbb{R}^2$ の直線に関して, 傾き,$ y$ 切片,$ x$ 切片, 方向ベクトル,法線ベクトルを求めよ. また,この直線に直交し原点を通る法線を求めよ.

$\displaystyle (1)\quad$ $\displaystyle y=3x-2$ $\displaystyle (2)\quad$ $\displaystyle 3x-2y+5=0$ $\displaystyle (3)\quad$ 2 点 $ (3,2)$, $ (1,-2)$ を通る直線    
$\displaystyle (4)\quad$ $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}$ $\displaystyle (5)\quad$ $\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1$    

1.19 (直線)   次の $ \mathbb{R}^2$ の直線をパラメータ表示で表せ. また,直線の方向ベクトル,法線ベクトル, $ x$ 切片,$ y$ 切片,傾きを求めよ. さらには,この直線に直交し点 $ (1,2)$ を通る法線を求めよ.

(1)    点 $ (1,-1)$, $ (2,3)$ を通る直線          (2)    点 $ (0,2)$, $ (1,0)$ を通る直線

(3)    点 $ (-3,1)$, $ (4,2)$ を通る直線          (4)    点 $ (2,1)$, $ (5,-1)$ を通る直線

(5)     $ \displaystyle{\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{4}}$          (6)     $ \displaystyle{\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{-3}}$          (7)     $ \displaystyle{\frac{x-5}{-3}=\frac{y-3}{5}}$          (8)     $ \displaystyle{\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}}$

(9)    $ y=2x-1$          (10)    $ y=-2x+3$          (11)    $ y=4x-3$          (12)    $ y=-3x-5$

(13)    $ 3x+2y+5=0$          (14)    $ -x+y+1=0$          (15)    $ 2x-y-2=0$

(16)    $ -x-3y+1=0$          (17)     $ \displaystyle{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1}$          (18)     $ \displaystyle{\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1}$

(19)     $ \displaystyle{\frac{x}{-3}+\frac{y}{-5}=1}$          (20)     $ \displaystyle{\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1}$

1.20 (平面)   次の $ \mathbb{R}^3$ の平面の法線ベクトルを求めよ.

(1)     $ 2x-y+3z+4=0$          (2)    3 点 $ (1,2,-1)$, $ (0,2,1)$, $ (0,2,1)$ を通る平面

1.21 (平面)   次の 3 点を通る $ \mathbb{R}^3$ の平面の方程式を求めよ.

(1)    点 $ (1,2,-1)$, $ (0,1,2)$, $ (3,-1,0)$          (2)    点 $ (0,1,2)$, $ (-1,2,-1)$, $ (2,0,-3)$

(3)    点 $ (4,0,2)$, $ (2,-1,0)$, $ (2,1,1)$          (4)    点 $ (0,1,2)$, $ (3,-1,0)$, $ (2,4,0)$

1.22 (直線)   次の $ \mathbb{R}^3$ の直線の方向ベクトルを求めよ.

(1)    $ 2x+3y=1$, $ 3y+4z=2$          (2)    $ 2x+3y-z=1$, $ x-2y+z=-1$

(3)    2 点 $ (1,2,-1)$, $ (0,2,1)$ を通る直線

1.23 (平面)   次の 2 点を通る $ \mathbb{R}^3$ の直線を パラメータ表示と成分表示で表せ.

(1)    点 $ (1,2,-1)$, $ (0,1,2)$          (2)    点 $ (0,1,2)$, $ (-1,2,-1)$          (3)    点 $ (4,0,2)$, $ (2,-1,0)$

(4)    点 $ (0,1,2)$, $ (3,-1,0)$

1.24 (平面)   次の $ \mathbb{R}^3$ の直線をパラメータ表示せよ.

(1)     $ 2x+3y+z+1=0$, $ x-y+2z-1=0$          (2)     $ x-y+2z-2=0$, $ 3x+2y-z+5=0$

1.25 (平面)   次の $ \mathbb{R}^3$ の平面と直交し点 $ (1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ. また,その交点を求めよ.

(1)    $ 2x+3y+1=0$          (2)    $ -x+2y-2=0$          (3)    $ 3x-y+2=0$          (4)     $ -3x-2y+3=0$

1.26 (平面)   次の $ \mathbb{R}^3$ の直線と直交し点 $ (1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ. また,その交点を求めよ.

(1)     $ \displaystyle{\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$          (2)     $ \displaystyle{\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}}$

1.27 (平行四辺形の面積)   次の4 点からなる平行四辺形の面積を求めよ.

(1) $ (0,0)$, $ (1,3)$, $ (3,4)$, $ (2,1)$          (2) $ (0,0)$, $ (-3,1)$, $ (-1,3)$, $ (2,2)$

(3) $ (-2,0)$, $ (0,2)$, $ (3,0)$, $ (1,-2)$

Kondo Koichi
平成18年1月18日