1.32 $ \mathbb{R}^3$ における点と平面との距離

定理 1.138 ( $ \mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   $ \mathbb{R}^{3}$ 空間内の点 $ A(x_{0},y_{0},z_{0})$ と 平面 $ ax+by+cz+d=0$ を考える. 点 $ A$ と平面との距離は

$\displaystyle \frac{\left\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ (245)

である.

1.139 ( $ \mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   これを示せ.

(証明) 点 $ A(\vec{x}_{0})$ と平面 $ \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ とし,

$\displaystyle \vec{x}_{0}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{bmatrix}...
...d \vec{x}_{0}-\vec{q}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}+c/d \end{bmatrix}$ (246)

とおく.

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})= ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\,,\quad \Vert\vec{n}\Vert= \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (247)

より,

$\displaystyle \frac{\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\vert}{\Vert\vec{n}\Vert}= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ (248)

を得る.

1.140 ( $ \mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   点 $ A(1,-2,4)$ の平面 $ 2x+3y-z+1=0$ との距離は

$\displaystyle \frac{\vert 2\cdot1+3\cdot(-2)-4+1\vert}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}= \frac{\vert-7\vert}{\sqrt{14}}= \frac{7}{\sqrt{14}}= \sqrt{\frac{7}{2}}$ (249)

である.

1.141 ( $ \mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   点 $ A(1,-2,4)$ の平面 $ 2x+3y-z+1=0$ への 射影点は $ B(2,-1/2,7/2)$ であるから 点 $ A$ と平面との距離は点 $ A$, $ B$ の距離に等しい. すなわち,

$\displaystyle \overline{AB}= \sqrt{ \left(1-2\right)^2+ \left(-2+\frac{1}{2}\ri...
... }= \sqrt{ 1+\frac{9}{4}+\frac{1}{4} }= \sqrt{\frac{14}{4}}= \sqrt{\frac{7}{2}}$ (250)

である.

Kondo Koichi
平成17年9月15日