2.14 行列の演算に関する緒性質

定理 2.53 (行列の演算の性質)   行列の演算に関して次の性質が成り立つ:
(1)
$ A+B=B+A$         (加法の交換則)
(2)
$ A+O=A$, $ O+A=A$          (加法の零元) $ O$ は数の足し算の 0 と同様な振る舞い
(3)
$ (A+B)+C=A+(B+C)$         (加法の結合則)
(4)
$ AE=A$, $ EA=A$         (乗法の単位元) $ E$ は数の掛け算の $ 1$ と同様な振る舞い
(5)
$ AO=O$, $ OA=O$         (乗法の零元) $ O$ は数の掛け算の 0 と同様な振る舞い
(6)
$ (AB)C=A(BC)$         (乗法の結合則)
(7)
$ A(B+C)=AB+AC$, $ (A+B)C=AC+BC$         (分配則)
(8)
$ 0A=O$, $ 1A=A$
(9)
$ (ab)A=a(bA)$, $ (aA)B=a(AB)$
(10)
$ a(A+B)=aA+aB$, $ (a+b)A=aA+bA$
(11)
$ {(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$
(12)
$ {(AB)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$
(13)
$ (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$
(14)
$ (AB)^{*}=B^{*}A^{*}$
(15)
$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
ただし,$ A,B,C$ の型は互いに演算が定義されている型とする.

2.54 (行列の演算の性質)  

性質(1)-(12)を示せ.


(証明)(1), (4), (11), (12) を示す.残りは自習.

(1) $ A+B=B+A$ を示す.まず $ A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $ B=[b_{ij}]_{m\times n}$ とおく. このとき $ A+B$ は和の定義より

$\displaystyle A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$ (306)

となる.次に $ B+A$ を求める.和の定義より

$\displaystyle B+A=[b_{ij}+a_{ij}]_{m\times n}$ (307)

となる.各要素 $ b_{ij}+a_{ij}$ は単に数なので, 和について可換である. よってすべての要素の和の順番を入れ換えて,

$\displaystyle B+A=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$ (308)

となる.以上より $ A+B=B+A$ が示された.

(4) $ AE=A$ を示す.まず $ A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $ E=[\delta_{ij}]_{n\times n}$ とおく. さらに $ C=AE=[c_{ij}]_{m\times n}$ とおく. $ c_{ij}$ を計算する. 積の定義とクロネッカーのデルタの定義に従って計算する. $ [c_{ij}]=C=AE=[a_{ij}][\delta_{ij}]$ より

$\displaystyle c_{ij}$ $\displaystyle = \sum_{k}^{n}a_{ik}\delta_{kj}$ (309)
  $\displaystyle = a_{i1}\delta_{1j}+ a_{i2}\delta_{2j}+ a_{i3}\delta_{3j}+ \cdots+ a_{ij}\delta_{jj}+ \cdots+ a_{in}\delta_{nj}$ (310)
  $\displaystyle = a_{i1}\times 0+ a_{i2}\times 0+ a_{i3}\times 0+ \cdots+ a_{ij}\times 1+ \cdots+ a_{in}\times 0$ (311)
  $\displaystyle = a_{ij}$ (312)

を得る.これより $ c_{ij}=a_{ij}$ が成り立つ. よって $ C=A$ を得る. 以上より $ AE=A$ が示された. $ EA=A$ の場合も同様に示す.

(11) $ {(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$ を示す. まず, $ A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $ B=[b_{ij}]_{m\times n}$ とおく. 和の定義より

$\displaystyle A+B=[a_{ij}]_{m\times n}+[b_{ij}]_{m\times n} =[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$ (313)

となる.転置の操作は行と列を入れ換えるので

$\displaystyle {(A+B)}^{T}={([a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n})}^{T} =[a_{ji}+b_{ji}]_{n\times m}$ (314)

となる.右辺の行列を二つの行列の和に分解し, それぞれの行列の転置をとると

$\displaystyle {(A+B)}^{T}=[a_{ji}]_{n\times m}+[b_{ji}]_{n\times m}= {([a_{ij}]_{m\times n})}^{T}+{([b_{ij}]_{m\times n})}^{T}= {A}^{T}+{B}^{T}$ (315)

を得る. 以上で示された.

(12) $ {(AB)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$ を示す.まず

$\displaystyle A$ $\displaystyle =[a_{ij}]_{m\times n}\,,\quad B=[b_{ij}]_{n\times r}\,,\quad {A}^{T}=[\tilde{a}_{ij}]_{n\times m}\,,\quad {B}^{T}=[\tilde{b}_{ij}]_{r\times n}$ (316)

とおく. 次に

$\displaystyle C$ $\displaystyle =AB=[c_{ij}]_{m\times r}\,,\quad {C}^{T}={(AB)}^{T}=[\tilde{c}_{ij}]_{r\times m}\,,\quad D={B}^{T}{A}^{T}=[d_{ij}]_{r\times m}$ (317)

とおく. まず $ c_{ij}$, $ d_{ij}$ を求める. 積の定義より

$\displaystyle c_{ij}$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\,,\quad d_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\tilde{b}_{ik}\tilde{a}_{kj}$ (318)

となる. $ \tilde{c}_{ij}=c_{ji}$, $ \tilde{a}_{ij}=a_{ji}$, $ \tilde{b}_{ij}=b_{ji}$ を用いれば

$\displaystyle \tilde{c}_{ij}=c_{ji}= \sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}= \sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk}= \sum_{k=1}^{n}\tilde{b}_{ik}\tilde{a}_{kj}=d_{ij}$ (319)

を得る.以上より $ {(AB)}^{T}={C}^{T}=[\tilde{c}_{ij}]_{r\times m}=
[d_{ij}]_{r\times n}=D={B}^{T}{A}^{T}$ となる. 証明終了.

Kondo Koichi
平成17年9月15日