3.12 基本変形の行列表現

定理 3.47 (行列の積による行列の行の基本変形)   行列 $ A=[a_{ij}]_{m\times n}$ が与えられたとき, 次に定義される行列 $ P^{(\nu)}\ (\nu=1,2,3)$ を左から掛けて, 積 $ P^{(\nu)}A$ を考える. このとき積 $ P^{(\nu)}A$ は行列の行の第 $ \nu$ 基本変形を $ A$ にほどこした行列と等しい.
(1)
$ k$ 行を $ \alpha$ 倍する.

$\displaystyle P^{(1)}_{k}(\alpha)$ $\displaystyle = \underset{k}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c\vert ccc} \!1\! & ...
...[-.5ex] & & & & & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & \!1\! \end{array}\right]}$$ k$ (504)

(2)
$ k$ 行と第 $ l$ 行を入れ替える.

$\displaystyle P^{(2)}_{k,l}$ $\displaystyle = \underset{k\qquad\qquad\,\,\,l}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c...
...& & & & & & & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}$ (505)

(3)
$ l$ 行を $ \alpha$ 倍して第 $ k$ 行に加える.

$\displaystyle P^{(3)}_{k,l}(\alpha)$ $\displaystyle = \underset{k\qquad\qquad\,\,\,l}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c...
...& & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}\quad(k<l)$ (506)

$\displaystyle P^{(3)}_{k,l}(\alpha)$ $\displaystyle = \underset{l\qquad\qquad\,\,\,k}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c...
...& & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}\quad(l<k)$ (507)

3.48   これを示せ.

3.49 (行列の行の基本変形の具体例)   行列

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ (508)

を考える. このとき $ A$ にいろいろな基本変形を行なうと次のようになる.

$\displaystyle P^{(1)}_{1}(\alpha)A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm...
...n{bmatrix}\alpha & 2\alpha & 3\alpha \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$   ← 第 $ 1$ 行を $ \alpha$ (509)
$\displaystyle P^{(1)}_{2}(\alpha)A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm...
...{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4\alpha & 5\alpha & 6\alpha \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$   ← 第 $ 2$ 行を $ \alpha$ (510)
$\displaystyle P^{(1)}_{3}(\alpha)A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{bm...
...{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7\alpha & 8\alpha & 9\alpha \end{bmatrix}\,.$   ← 第 $ 3$ 行を $ \alpha$ (511)
$\displaystyle P^{(2)}_{1,2}A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix...
...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$   ← 第 $ 1$ 行と第 $ 2$ 行を入れ換え (512)
$\displaystyle P^{(2)}_{1,3}A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix...
...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\,.$   ← 第 $ 1$ 行と第 $ 3$ 行を入れ換え (513)
$\displaystyle P^{(2)}_{2,3}A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix...
...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\,.$   ← 第 $ 2$ 行と第 $ 3$ 行を入れ換え (514)
$\displaystyle P^{(3)}_{1,2}(\alpha)A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm...
...ix}1+4\alpha & 2+5\alpha & 3+6\alpha \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$ (515)
     ← 第 $ 2$ 行を $ \alpha$ 倍し第 $ 1$ に加える (516)
$\displaystyle P^{(3)}_{3,2}(\alpha)A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \end{bm...
...ix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7+4\alpha & 8+5\alpha & 9+6\alpha \end{bmatrix}\,.$ (517)
     ← 第 $ 2$ 行を $ \alpha$ 倍し第 $ 3$ に加える (518)
$\displaystyle P^{(3)}_{2,1}(\alpha)A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ \alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm...
...rix}1 & 2 & 3 \\ 4+\alpha & 5+2\alpha & 6+3\alpha \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$ (519)
     ← 第 $ 1$ 行を $ \alpha$ 倍し第 $ 2$ に加える (520)

3.50 (簡約化の行列表現)   行列 $ A$ を簡約化し $ B$ とする. このとき

$\displaystyle A\overset{\text{簡約化}}{\rightarrow} B=PA$ (521)

を満たす行列 $ P$ を求める. 簡約化を次のように行う:

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ (522)
     (第一行目を第二行目に加える.) (523)
  $\displaystyle \overset{P_{1}}{\longrightarrow} A_{1}=P_{1}A= \begin{bmatrix}1 &...
...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ (524)
     (第三行目を $ -2$ 倍し第二行目に加える.) (525)
  $\displaystyle \overset{P_{2}}{\longrightarrow} A_{2}=P_{2}A_{1}= \begin{bmatrix...
...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ (526)
     (第二行目と第三行目を入れ替える.) (527)
  $\displaystyle \overset{P_{3}}{\longrightarrow} A_{3}=P_{3}A_{2}= \begin{bmatrix...
...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ (528)
     (第三行目を $ -1$ 倍し第一目に加える.) (529)
  $\displaystyle \overset{P_{4}}{\longrightarrow} A_{4}=P_{4}A_{3}= \begin{bmatrix...
...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ (530)
     (第三行目を $ 1/2$ 倍する.) (531)
  $\displaystyle \overset{P_{5}}{\longrightarrow} A_{5}=P_{5}A_{4}= \begin{bmatrix...
...atrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=E=B\,.$ (532)

簡約化された行列 $ B$ はここでは単位行列 $ E$ となる. この結果を書き直すと

$\displaystyle B$ $\displaystyle =E=A_{5}=P_{5}A_{4}= P_{5}P_{4}A_{3}= P_{5}P_{4}P_{3}A_{2}= P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}A_{1}= P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}A$ (533)
  $\displaystyle =(P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1})A=PA$ (534)

と書ける. ここで

$\displaystyle P=P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}$ (535)

とおいた. よって $ B=PA$ を満たす $ P$ が得られる. 行列 $ P$ を具体的に求める. $ P$$ P_{1}$ から $ P_{5}$ の積で

$\displaystyle P$ $\displaystyle =P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0...
... \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (536)

と表されるので, これを計算すれば良い. しかしながらこれは面倒である. 積の順番を

$\displaystyle P$ $\displaystyle = P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}= P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}E= P_{5}(P_{4}(P_{3}(P_{2}(P_{1}E))))$ (537)

として計算する. これはすなわち, 単位行列 $ E$ に対して $ A$ に行った基本変形と同じ操作を同じ順番で行うことを意味する. よって

$\displaystyle E$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (538)
     (第一行目を第二行目に加える.) (539)
  $\displaystyle \overset{P_{1}}{\longrightarrow} P_{1}E= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (540)
     (第三行目を $ -2$ 倍し第二行目に加える.) (541)
  $\displaystyle \overset{P_{2}}{\longrightarrow} P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (542)
     (第二行目と第三行目を入れ替える.) (543)
  $\displaystyle \overset{P_{3}}{\longrightarrow} P_{3}P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ (544)
     (第三行目を $ -1$ 倍し第一目に加える.) (545)
  $\displaystyle \overset{P_{4}}{\longrightarrow} P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ (546)
     (第三行目を $ 1/2$ 倍する.) (547)
  $\displaystyle \overset{P_{5}}{\longrightarrow} P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & -1 \end{bmatrix}=P\,$ (548)

を得る. 以上より $ B=E=PA$ を満たす

$\displaystyle P= \begin{bmatrix}0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & -1 \end{bmatrix}$ (549)

を求めた.

注意 3.51 (変換の行列表現)   行列 $ A$ から行列 $ B$ への変換を $ f$ とする. すなわち

$\displaystyle B=f(A)$ (550)

とする.関数 $ f$ は入力が行列で出力も行列である. いま簡約化を表す関数 $ f$ を考える. このとき

$\displaystyle B=f(A)=PA$ (551)

と表される. 関数 $ f$ は入力行列 $ A$ に対して 左から $ P$ を掛ける操作を意味する. 簡約化という操作は行列 $ P$ と対応する. 行列の変換においては 入力,出力,操作ともに全て行列で表される.

Kondo Koichi
平成17年9月15日