5.5 $ \mathbb{R}^2$ における線形変換の固有空間

5.15 (線形変換の固有空間の具体例)   線形変換 $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の固有空間を求める. ただし,

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}8 & -10 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$    

とする. まず,固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-8 & 10 \\ -5 & t+10 \end{vmatrix} = t^2-t-6= (t-3)(t+2)$    

である.よって $ g_A(\lambda)=0$ より 固有値は $ \lambda=-2,3$ である.

固有ベクトルをそれぞれ求める. $ \lambda=-2$ のとき $ (\lambda E-A)\vec{x}=0$ より 方程式 $ (-2E-A)\vec{x}=0$ をみたす $ \vec{x}$ を求める. 行列 $ -2E-A$ を簡約化すると

$\displaystyle -2E-A= \begin{bmatrix}-10 & 10 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} \quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

となる.これより $ x_1-x_2=0$ であるから解は

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix...
...rix}c \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{u}_1$    

となる.ただし $ c$ は任意定数である. よって $ \lambda=-2$ に属する固有ベクトルは $ \vec{x}=c\vec{u}_1$ ($ c\neq 0$) である. また,固有空間は固有ベクトル全体の集合に $ \vec{0}$ を 加えたものであるから,

$\displaystyle W(-2;f)= \left\{\left.\,{c\vec{u}_1}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle \vec{u}_1\right\rangle$    

となる.

$ \lambda=3$ のとき $ (\lambda E-A)\vec{x}=0$ より 方程式 $ (3E-A)\vec{x}=0$ をみたす $ \vec{x}$ を求める. 行列 $ 3E-A$ を簡約化すると

$\displaystyle 3E-A= \begin{bmatrix}-5 & 10 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} \quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

となる.これより $ x_1-2x_2=0$ であるから解は

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix...
...ix}2c \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{u}_2$    

となる.ただし $ c$ は任意定数である. よって $ \lambda=3$ に属する固有ベクトルは $ \vec{x}=c\vec{u}_2$ ($ c\neq 0$) である. また,固有空間は固有ベクトル全体の集合に $ \vec{0}$ を 加えたものであるから,

$\displaystyle W(3;f)= \left\{\left.\,{c\vec{u}_2}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle \vec{u}_2 \right\rangle$    

となる.

固有空間 $ W(-2;f)$ の基底は $ \{\vec{u}_1\}$ であり $ \dim(W(-2;f))=1$ となる. 固有空間 $ W(3;f)$ の基底は $ \{\vec{u}_2\}$ であり $ \dim(W(3;f))=1$ となる. また,

$\displaystyle \det \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix}= \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq 0$    

より $ \{\vec{u_1},\vec{u}_2\}$ は 1 次独立であるから,

  $\displaystyle W(-2;f)\cap W(3;f)= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle \cap \left\langle \vec{u}_2\right\rangle = \{\vec{0}\}$    

となる.よって,

  $\displaystyle W(-2;f)\oplus W(3;f)= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle \oplus ...
...ght\rangle = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \mathbb{R}^2,$    
  $\displaystyle \dim(W(-2;f))+\dim(W(3;f))= \dim(\mathbb{R}^2)$    

が成り立つ. $ \mathbb{R}^2$$ W(-2;f)$$ W(3;f)$ に直和分解される. $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ $ \mathbb{R}^2$ の基底となる.

標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ に関する $ f$ の 表現行列は $ A$ である. 基底 $ \Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ に関する $ f$ の 表現行列を求める. $ \Sigma$, $ \Sigma'$ の座標を $ (x_1,x_2)_{\Sigma}$, $ (x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ とすると,

  $\displaystyle x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2 \quad\Right...
...x}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \vec{x}=P\vec{x}', \quad \vec{x}= \begin{bm...
...vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$    

と座標変換が得られる. これを用いて, 線形変換 $ \vec{y}=A\vec{x}$ を座標変換すると

$\displaystyle \vec{y}=A\vec{x} \quad\Rightarrow\quad P\vec{y}'=AP\vec{x}' \quad...
...y}'=P^{-1}AP\vec{x}' \quad\Rightarrow\quad \vec{y}'=D\vec{x}', \quad D=P^{-1}AP$    

と表される. よって,基底 $ \Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ に関する $ f$ の表現行列は

$\displaystyle D=P^{-1}AP= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \beg...
...rix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$    

となる. また,あらたな座標 $ (x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ のもとでの $ f$ $ \vec{y}'=D\vec{x}'$ より

$\displaystyle f:\, (x'_1,x'_2)\mapsto(y'_1,y'_2); \quad y'_1=-2x'_1,\quad y'_2=x'_2$    

と表される.

Kondo Koichi
平成18年1月17日