5.34 演習問題 〜 ユニタリー行列で対角化

5.116 (対称行列の対角化)   次の行列を直交行列またはユニタリー行列で対角化せよ.

    (1)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{bmatrix}}$     (2)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -3 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}}$     (3)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 6
\end{bmatrix}}$     (4)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}}$     (5)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & -2
\end{bmatrix}}$     (6)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 & 2 \\
2 & 8
\end{bmatrix}}$
    (7)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & i \\
-i & 1
\end{bmatrix}}$     (8)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
i & 1 \\
1 & i
\end{bmatrix}}$     (9)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0
\end{bmatrix}}$     (10)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{bmatrix}}$     (11)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} &
\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} &
\frac{1}{2}
\end{bmatrix}}$     (12)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}}$
    (13)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}}$     (14)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}}$     (15)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & i & 1 \\
-i & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}}$     (16)   $ \displaystyle{
\frac{1}{6}
\begin{bmatrix}
10 & 2i & 2 \\
-2i & 7 & -i \\
2 & i & 7
\end{bmatrix}}$
    (17)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}}$     (18)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}}$     (19)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
7 & 2 & 0 \\
2 & 6 & 2 \\
0 & 2 & 5
\end{bmatrix}}$     (20)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
8 & -3 & -3 \\
-3 & 8 & -3 \\
-3 & -3 & 8
\end{bmatrix}}$
    (21)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 4 \\
1 & 4 & -1
\end{bmatrix}}$     (22)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}}$     (23)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 2 \\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix}}$     (24)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}}$
    (25)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{bmatrix}}$     (26)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & i & 1 \\
-i & 0 & i \\
1 & -i & 0
\end{bmatrix}}$     (27)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
10 & 2i & 2 \\
-2i & 7 & -i \\
2 & i & 7
\end{bmatrix}}$
    (28)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1+i & -3+3i \\
1-i & -3 & -i \\
-3-3i & i & 5
\end{bmatrix}}$     (29)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 & -i & 1+i \\
i & 5 & -1+i \\
1-i & -1-i & 6
\end{bmatrix}}$     (30)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & -1 & -2 \\
2 & -1 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2 & 1
\end{bmatrix}}$



Kondo Koichi
平成18年1月17日