6.5 分類外の 2 次曲線

まとめ 6.14 (2 次曲線の分類)   2 次曲線は楕円，双曲線，放物線以外のグラフもありうる． 標準形の形で次のように分類される：

    (i)   楕円： $\det(A)>0$, $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$$ のとき．

    (ii)   点楕円： $\det(A)>0$, $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0}$$ のとき，原点のみの楕円形．

    (iii)   虚の楕円： $\det(A)>0$, $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1}$$ のとき， $${\frac{x^2}{(ia)^2}+\frac{y^2}{(ib)^2}=1}$$ より $\mathbb{R}^2$ ではグラフは存在しない．

    (iv)   双曲線： $\det(A)<0$, $${\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1}$$ のとき．

    (v)   交わる 2 つの直線： $\det(A)<0$, $${\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0}$$ のとき， $(bx-ay)(bx+ay)=0$ と書き換えて 2 直線 $bx-ay=0$, $ab+ay=0$ となる．

    (vi)   放物線： $\det(A)=0$, $y=ax^2+bx+c$ または $x=ay^2+by+c$ のとき．

    (vii)   平行な 2 つの直線： $\det(A)=0$, $x^2=c>0$ または $y^2=c>0$ のとき．

    (viii)   重なった 1 つの直線： $\det(A)=0$, $x^2=0$ または $y^2=0$ のとき．

    (ix)   虚の平行 2 直線： $\det(A)=0$, $x^2=c<0$ または $y^2=c<0$ のとき．

注意 6.15 (交わる 2 直線)   2 次曲線

$$F=x^2-5xy+4y^2+x+2y-2=0$$

は $\det(A)=-9/4<0$ より双曲形であるが，

$$F=(x-y-1)(x-4y+2)=0$$

と因数分解されるので， $F=0$ は 2 つの直線

$$x-y-1=0, \qquad x-4y+2=0$$

を表す．

注意 6.16 (平行 2 直線)   2 次曲線

$$F=x^2-2xy+y^2+6x-6y+5=0$$

は $\det(A)=0$ より無心 2 次曲線である．

$$F=(x-y+5)(x-y+1)$$

と因数分解されるので，2 つの平行な直線を表す．

注意 6.17 (虚の直線)   2 次曲線 $F=x^2+1=0$ は $F=(x+i)(x-i)=0$ と書けるから， 2 つの虚の直線を表す． よって，実数の範囲内ではグラフは存在しない．

Kondo Koichi
平成18年1月17日