3.2 内積空間

定義 3.3 (実ベクトル空間の内積)   $ \mathbb{R}$ 上のベクトル空間 $ V$ の任意の 2 つのベクトル $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ に対して, 2 項演算 $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ が次の条件(i)-(iv)をみたすとき, 演算 $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$内積(inner product)という.
(i).
$ \left({\vec{u}+\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)+\left({\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)$.
(ii).
$ \left({\alpha\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\alpha\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$, $ \alpha\in\mathbb{R}$.
(iii).
$ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}}\right)$.
(iv).
$ \vec{u}\neq\vec{0}$ のとき $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{u}}\right)\neq 0$.

定義 3.4 (複素ベクトル空間の内積)   $ \mathbb{C}$ 上のベクトル空間 $ V$ の任意の 2 つのベクトル $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ に対して, 2 項演算 $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ が次の条件(i)-(iv)をみたすとき, 演算 $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$内積(inner product)という.
(i).
$ \left({\vec{u}+\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)+\left({\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)$.
(ii).
$ \left({\alpha\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\alpha\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$, $ \alpha\in\mathbb{C}$.
(iii).
$ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\overline{\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}}\right)}$.
(iv).
$ \vec{u}\neq\vec{0}$ のとき $ \mathbb{R}\ni\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{u}}\right)\neq 0$.

注意 3.5 (複素ベクトル空間の内積)    
(iia)
$ \left({\alpha\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=
\alpha\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$.
(iib)
$ \left({\vec{u}}\,,\,{\alpha\vec{v}}\right)=\overline{\alpha}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$.     ( $ \Leftarrow$(i), (ii))

定義 3.6 (内積空間)   内積が定義されたベクトル空間を 内積空間(inner product space)という.

定義 3.7 (標準的な内積)   実ベクトル空間 $ \mathbb{R}^n$ に対して内積

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= {\vec{u}}^{T}\vec{v}= \sum_{k=1}^{n}u_{k}v_{k}= u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n$    

$ \mathbb{R}^n$標準的な内積という. また, 複素ベクトル空間 $ \mathbb{C}^n$ に対して内積

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= {\vec{u}}^{T}\overline{\vec...
...verline{v_{k}}= u_1\overline{v_1}+ u_2\overline{v_2}+ \cdots+ u_n\overline{v_n}$    

$ \mathbb{C}^n$標準的な内積という.

3.8 (標準的な内積)   標準的な内積が内積の定義(i)-(iv)をみたすことを示せ.

3.9 (内積の具体例)   区間 $ (a,b)$ で連続関数の集合 $ C(a,b)$ はベクトル空間である. $ C(a,b)$ の 2 つのベクトル $ f(x)$, $ g(x)$ に対して 2 項演算 $ \left({f}\,,\,{g}\right)$

$\displaystyle \left({f}\,,\,{g}\right)=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$    

と定義する. この演算は性質(i)-(iv)をみたすので内積となる. これを示せ.

3.10 (内積の具体例)   $ \mathbb{R}[x]_n$ の 2 つのベクトル $ f(x)$, $ g(x)$ に対して 2 項演算

$\displaystyle \left({f}\,,\,{g}\right)=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$    

は性質(i)-(iv)をみたすので内積となる. これを示せ.

Kondo Koichi
平成18年1月17日