3.28 ベクトルで張られる部分空間の次元

定理 3.106 (ベクトル空間の次元と階数) 部分空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$

の次元は

$\displaystyle \dim(W)=\mathrm{rank}\,(A), \qquad A= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2}& \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}$

である．

（証明）ベクトル $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ の 1 次独立なベクトル最大個数は $r=\mathrm{rank}\,(A)$ である． $\vec{u}_1$ , $\cdots$ , $\vec{u}_r$ が 1 次独立であるとすると，その他のベクトル $\vec{u}_{r+1}$ , $\cdots$ , $\vec{u}_n$ はこれらの 1 次結合で表されるので，

$\displaystyle \vec{u}_{i}= \mu_{i,1}\vec{u}_{1}+ \cdots+ \mu_{i,r}\vec{u}_{r}, \qquad i=r+1,r+2,\cdots,n$

となる．このとき

の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{u}$	$\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ \cdots+ c_r\vec{u}_r+ c_{r+1}\vec{u}_{r+1}+ \cdots+ c_n\vec{u}_n$
	$\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ \cdots+ c_r\vec{u}_r+ c_{r+1}(\mu_{r+1,1}\vec{u}_... ...r}\vec{u}_{r})+ \cdots+ c_{n}(\mu_{n,1}\vec{u}_{1}+\cdots+\mu_{n,r}\vec{u}_{r})$
	$\displaystyle = (c_1+c_{r+1}\mu_{r+1,1}+\cdots+c_n\mu_{n,1})\vec{u}_1+ \cdots+ (c_n+c_{r+1}\mu_{r+1,r}+\cdots+c_n\mu_{n,r})\vec{u}_r$
	$\displaystyle = \tilde{c}_1\vec{u}_1+ \cdots+ \tilde{c}_r\vec{u}_r$

である．よって

の基底は $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_r\}$ となり，次元は $r=\mathrm{rank}\,(A)=\dim(W)$ となる．

例 3.107 (部分空間の次元の具体例) ベクトル

$\displaystyle \vec{a}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{a... ...x}, \quad \vec{a}_3= \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3$

で生成される $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rangle$

を考える．この次元を求める． $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ , $\vec{a}_3$ を列ベクトルする行列

を簡約化して

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 \end{bmatrix}... ... \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 \end{bmatrix}$

を得る．このとき $\vec{b}_1=\vec{e}_1$ , $\vec{b}_2=\vec{e}_2$ , $\vec{b}_3=-5\vec{b}_1+2\vec{b}_2$ が成り立つので， $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ は 1 次独立であり， $\vec{a}_3=-5\vec{a}_1+2\vec{a}_2$ が成り立つ．ベクトルの組 $\{\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ , $\vec{a}_3\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $2=\mathrm{rank}\,(A)$ である．

の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{x}$	$\displaystyle = c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2+c_3\vec{a}_3= c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2+c_3(-5\vec{a}_1+2\vec{a}_2)$
	$\displaystyle = (c_1-5c_3)\vec{a}_1+(c_2+2c_3)\vec{a}_2= \tilde{c}_1\vec{a}_1+\tilde{c}_2\vec{a}_2$

と表される． $\tilde{c}_1$ , $\tilde{c}_2$ は任意であるから

$\displaystyle W$	$\displaystyle = \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rang... ...2\vec{a}_2+c_3\vec{a}_3}\,\,\right\vert\,\,{c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}}\,\right\}$
	$\displaystyle = \left\{\left.\,{\tilde{c}_1\vec{a}_1+\tilde{c}_2\vec{a}_2}\,\,\... ...}_2\in\mathbb{R}}\,\right\}= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2\right\rangle$

が成り立つ． $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ は 1 次独立であるから，

の基底は $\{\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2\}$ となる．よって

$\displaystyle \dim(W)= \dim( \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}... ...\dim( \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2\right\rangle )=2=\mathrm{rank}\,(A)$

を得る．