1.4

ある集合の元に対して四則演算が定義され, その集合内で閉じているとき, その集合を体と呼ぶ. 正確には次のように定義される.

定義 1.15 (体)   集合 $ K$ の任意の 2 つの元 $ a$, $ b$ に対して, 加法 $ a+b$ と乗法 $ ab$ が定義されているとする.


(1) $ (a+b)+c=a+(b+c)$. (和の結合則)
(2) $ \forall a+\exists 0=a=0+a$. (零元 0 の存在)
(3) $ \forall a+\exists(-a)=0=(-a)+a$. (和の逆元 $ -a$ の存在)
(4) $ a+b=b+a$. (和の交換則)
(5) $ (ab)c=a(bc)$. (積の結合則)
(6) $ a(b+c)=ab+ac$, $ (a+b)c=ac+bc$. (分配則)
(7) $ ab=ba$. (積の交換則)
(8) $ \forall a\exists1=a=1a$. (単位元 $ 1$ の存在)
(9) $ \forall a\exists(a^{-1})=1=(a^{-1})a$.ただし,$ a\neq0$ とする. (積の逆元 $ a^{-1}$ の存在)

1.16 (体の具体例)   数の集合

$\displaystyle \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\,.$    

を考える.

1.17 (体の具体例)    

Kondo Koichi
平成18年1月17日