3.34 座標

定義 3.129 (座標)   ベクトル空間 $ V$ と その基底を $ \Sigma=\{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ とする. このとき $ V$ の任意の元 $ \vec{a}$

$\displaystyle \vec{a}= x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}...
...t)\begin{bmatrix}x_1 \\ [-1ex] x_2 \\ [-1ex] \vdots \\ [-1ex] x_n \end{bmatrix}$    

と表せる. 線形結合の係数の組

$\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})_{\Sigma}$    

を基底 $ \Sigma$ における座標(coordinate)という. また,誤解がないときは単に $ (x_1,\cdots,x_n)$ と表記する.

注意 3.130 (列行列の成分)   $ \mathbb{R}^n$ の 標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_{1}$, $ \vec{e}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{e}_{n}\}$ における任意のベクトル $ \vec{a}$ の座標を $ (x_{1}$, $ x_{2}$, $ \cdots$, $ x_{n})_{\Sigma}$ とする. このとき,

$\displaystyle \vec{a}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{e}...
...x}x_{1} \\ [-1ex] x_{2} \\ [-1ex] \vdots \\ [-1ex] x_{n} \end{bmatrix}= \vec{x}$    

と書ける. 列ベクトル $ \vec{x}$ の成分の組 $ (x_1,\cdots,x_n)$ は 標準基底における座標と見なされる.

3.131 (座標の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ の点 $ (x_1,x_2)$ の位置ベクトルを $ \vec{x}$ とする. $ (x_1,x_2)$ は標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ における 座標 $ (x_1,x_2)_{\Sigma}$ とみなせるから,

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2$    

と表される. 次に基底

$\displaystyle \Sigma'= \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

における座標を $ (x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ とすると,

$\displaystyle \vec{x}=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2 = \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} =U\vec{x}'$    

と書ける. このとき

$\displaystyle \vec{x}'=U^{-1}\vec{x} \qquad\Leftrightarrow\qquad x'_1=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2, \qquad x'_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2$    

が成り立つ. よって $ \Sigma'$ における座標は $ \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1-x_2}{2}\right)_{\Sigma'}$ となる. 例えば点 $ (1,0)_{\Sigma}$, $ (0,1)_{\Sigma}$, $ (1,1)_{\Sigma}$ $ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $ \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $ (1,0)_{\Sigma'}$ となる.

3.132 (座標の具体例)   $ \mathbb{R}[x]_n$ のベクトルは多項式

$\displaystyle f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$    

である.任意の $ f$ の基底 $ \Sigma=\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ における 座標は $ (a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n)_{\Sigma}$ である.

Kondo Koichi
平成18年1月17日