3.41 演習問題 〜 正規直交基底

問 3.161 (正規直交基底)   次の基底を正規直交化せよ．

(1) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}}$$          (3) $${ \mathbb{C}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1+i \\ 3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -3i \\ 5+4i \end{bmatrix}}$$

(4) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (5) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (6) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$

(7) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,... ...trix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (8) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (9) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...trix} 5 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}}$$

(10) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$          (11) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...trix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (12) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...atrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$

(13) $${ \mathbb{C}^{3}\ni \begin{bmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ... \\ -2+3i \\ 1-2i \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 4 \\ -2i \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (14) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix... ...\\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$

(15) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatri... ...\\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (16) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatri... ...\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$

(17) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix... ...\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (18) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix... ...-2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$

(19) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatri... ...\ 4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (20) $${ \mathbb{C}^{4}\ni \begin{bmatrix} 2i \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatri... ...i \\ 2+i \\ 3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} i \\ 0 \\ 2 \\ 5i \end{bmatrix}}$$

問 3.162 (正規直交基底)   前問で得た正規直交基底における次のベクトルの座標を求めよ．

(1)-(2) $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (3) $${ \begin{bmatrix} 1-2i \\ 2+i \end{bmatrix}}$$      (4)-(12) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (13) $${ \begin{bmatrix} 2i \\ 3-i \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (14)-(19) $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$

(20) $${ \begin{bmatrix} -1+i \\ 2i \\ 3 \\ 2-2i \end{bmatrix}}$$

問 3.163 (グラム・シュミットの直交化法)   $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 (1) $\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$      (2) $\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,1\}$ を正規直交化せよ． ただし，内積は

$$\left({f}\,,\,{g}\right)=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx$$

とする．

問 3.164 (グラム・シュミットの直交化法)   $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\{1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, $\cdots$, $x^n\}$ を 正規直交化せよ． ただし，内積は前問と同じとする．

Kondo Koichi
平成18年1月17日