4.9 線形写像の階数と退化次数
定義 4.44 (階数,退化次数) 線形写像の像
の次元を階数(rank)といい,
と表記する. また,核の次元を 退化次数(nullity)といい,
と表記する.
定理 4.45 (退化次数,階数) 線形写像の階数は
である.また,の退化次数は
である.
(証明) まず
の核は定義より
である. これは方程式の解空間である. 方程式
の 一般解の任意定数の個数
が 解空間の次元と等しいので,
が成り立つ. 次にの像は定義より
である.の任意の元は
と表される. つまりの集合はベクトル
で 張られる部分空間
となる. 部分空間の基底の個数は 1 次独立なベクトルの最大個数となるから,
が成り立つ.
注意 4.46 (退化次数,階数) 線形写像に対して
が成り立つことに注意する.
定理 4.47 (退化次数,階数) 線形写像に関して
が成立する.
(証明)
の基底を
,
,
とし,
の基底を
,
,
とする. また,
のベクトル
が
をみたすとする. このとき 1 次関係
に対してを作用させると
となる.,
,
は 1 次独立なので
となる. このとき
であり,,
,
は 1 次独立であるか
となる. よって
,
,
,
,
,
は 1 次独立である. 次に,
の任意のベクトル
を
で写された ベクトル
は
のベクトルであるから,
と書ける. これより
が成り立つ. ベクトルは
に含まれる.よって
と書けるので,
を得る.,
は任意であるから,
となる. 以上より,個のベクトル
,
,
,
が
の基底となる, よって
,
,
を得る.
例 4.48 (線形写像の像と核の具体例) 線形写像
の像,核
と それらの次元である階数
, 退化次数
を求める.
まず
を簡約化すると
となる. このとき,
は 1 次独立であり,その他のベクトルは
と表される. 同じ 1 次関係がに対しても成り立つので,
,
は 1 次独立であり, その他のベクトルは
☆
となる. また,方程式の解は
★
と表される.
の核
は方程式
の 解(★)の集合であるから,
となる.は 1 次独立であり,
の基底となる. よって退化次数は
と得られる.
の像
の元
は 任意のベクトル
に対して,
により定まる. (☆)を用いると
と表される.ここで,
は任意の実数であるから,
が成り立つ.は 1 次独立であり,
の基底となる.よって
を得る.
Kondo Koichi
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平成18年1月17日