4.18 鏡映変換

例 4.82 (直交変換の具体例) 線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ ,

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

を考える． $A{A}^{T}=E$ となるのでは直交行列である． 2 つのベクトル

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \qquad \vec{x}'= \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$

をで写すと

$\displaystyle \vec{y}=A\vec{x}= \begin{bmatrix}x_2 \\ x_1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{y}'=A\vec{x}'= \begin{bmatrix}x'_2 \\ x'_1 \end{bmatrix}$

となる．このとき

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)= x_1x'_1+x_2x'_2= x_2x'_2+x_1x'_1= \left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$

となるから， $\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$ を得る．よっては直交変換である．またこのとき，

$\displaystyle \Vert\vec{x}\Vert=\Vert\vec{y}\Vert, \quad \Vert\vec{x}'\Vert=\Ve... ...rac{\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)}{\Vert\vec{y}\Vert\Vert\vec{y}'\Vert}$

が成り立つ．

は直線に対する鏡映変換である．

例 4.83 (直交変換の具体例) 直交変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ ,

$\displaystyle \vec{y}= \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}= A\vec{x}= \begi... ...gin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ -x_2 \end{bmatrix}$

は軸に対する鏡映変換である．