6.15 定積分の部分積分

定理 6.79 (部分積分)  

$$\int_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx= \Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b}- \int_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx\,.$$

例 6.80 (部分積分の計算例)  

$$I = \int_{0}^{\pi}x\,\sin x\,dx= \int_{0}^{\pi}x\,(-\cos x)'\,dx= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi}1\times(-\cos x)\,dx$$

$$= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}+ \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx= \Big[-x... ...Big]_{0}^{\pi}+ \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi}= \Big[-x\cos x+\sin x\Big]_{0}^{\pi}$$

$$= (-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(-0\times\cos0+\sin0)=\pi\,.$$

例 6.81 (部分積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1}x\log x\,dx= \frac{e^2+1}{4}\,.$$

Kondo Koichi
平成19年1月23日