2.13 正項級数に関する収束性の比較判定法
定理 2.51 (比較判定法) 二つの正項級数
を考える.数列
,
がある正の整数
に対して
を満たすとき, 次の関係が成り立つ:
- (i)
が収束するとき,
も収束する.
- (ii)
が発散するとき,
も発散する.
例 2.52 (比較判定法の具体例) 級数を考える. 数列
,
とする. このとき
を満たす. また,級数
は収束する. よって定理より級数
もまた収束する.
定理 2.53 (比較判定法) 二つの正項級数
を考える. 数列,
が
を満たし,かつ級数が収束するとき, 級数
も収束する.
例 2.54 (調和級数) 級数を 調和級数(harmonic series)という. 調和級数は発散する.
(証明)調和級数の部分和
の各項を括り直して
とおき直す. ただしであり
とおく. ここで,数列
と
を満たす数列
を
とおく. このとき,
が成り立つ.であり
であるから, 比較判定法より
を得る.以上証明終り.
例 2.55 (収束判定の具体例)
より
は収束する.
例 2.56 (収束判定の具体例)
より,は収束するので
も収束する.
定理 2.57 (級数の収束)
例 2.58 (比較判定法の具体例) 級数
は,より,
となる.
は発散するので
も発散する.
定理 2.59 (級数の収束)に対して
Kondo Koichi
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平成19年1月23日