2.16 交項級数
定義 2.64 (交項級数) 級数
を交項級数(alternative term series)と呼ぶ.
定理 2.65 (交項級数の収束定理) 交項級数は 次の条件を満たすとき収束する:
- (i)
.
- (ii)
.
(証明)が偶数のときの有限部分和は
と書ける.となるので, 数列
は正項級数でかつ単調増加となる. さらには
は
とも書ける.,
であるから,
となる.よって
は
をみたす.は有界な単調増加数列である. よって
は極限
が存在する. 次に
が奇数にる場合を考える.
の極限は
と得られる.以上で証明終了.
例 2.66 (交項級数の収束定理の具体例) 級数は 収束する. なぜなら
であり,
であるから, 定理より級数は収束する.
例 2.67 (交項級数の収束定理の具体例) 級数は 収束する. なぜなら
であり,
であるから, 定理より級数は収束する.
Kondo Koichi
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平成19年1月23日