3.23 演習 〜 初等関数

問 3.72 (関数の種類)   次の写像(1)-(3)は，単射($1$ 対 $1$ 写像)，全射(上への写像)， 全単射(上への$1$ 対 $1$ 写像)，いずれでもない，のどれであるか答えよ．
    (1)   $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=ax+b$     (2)   $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=e^x$
    (3)   $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=x^2$

問 3.73 (逆関数)   次の関数 $y=f(x)$ の逆関数 $y=f^{-1}(x)$ を求めよ． また，これらのグラフを描け．
    (1)   $y=f(x)=2x+3$     (2)   $y=f(x)=e^{-x}$     (3)   $y=f(x)=x^2$     (4)   $${y=f(x)=\frac{2x-1}{x+3}}$$
    (5)   $y=f(x)=e^x+e^{-x}$     (6)   $y=f(x)=e^x-e^{-x}$     (7)   $${y=f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$
    (8)   $${y=f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$

問 3.74 (三角関数)   次の値を求めよ．
    (1)   $${\sin \left(\frac{2\pi}{3}\right)}$$     (2)   $${\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)}$$     (3)   $$\sin \left( \frac{ \pi}{6} \right)$$     (4)   $$\sin \left( - \frac{2 \pi}{3} \right)$$     (5)   $${\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)}$$     (6)   $\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
    (7)   ${\mathrm{Sin}^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)}$     (8)   ${\mathrm{Sin}^{-1} (0)}$     (9)   ${\mathrm{Sin}^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$     (10)   ${\mathrm{Sin}^{-1} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$     (11)   ${\mathrm{Sin}^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
    (12)   ${\mathrm{Sin}^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$     (13)   ${\mathrm{Sin}^{-1} (1)}$     (14)   $${\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)}$$     (15)   $${\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)}$$     (16)   $$\cos \left( \frac{ \pi}{4} \right)$$
    (17)   $${\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)}$$     (18)   $${\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right)}$$     (19)   ${\mathrm{Cos}^{-1} (0)}$     (20)   ${\mathrm{Cos}^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)}$     (21)   ${\mathrm{Cos}^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)}$
    (22)   ${\mathrm{Cos}^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$     (23)   ${\mathrm{Cos}^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$     (24)   ${\mathrm{Cos}^{-1} (1)}$     (25)   $${\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$$     (26)   $${\tan \left(\frac{5\pi}{6}\right)}$$
    (27)   $${\tan \left(\frac{7\pi}{12}\right)}$$     (28)   ${\mathrm{Tan}^{-1} (0)}$     (29)   ${\mathrm{Tan}^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$     (30)   ${\mathrm{Tan}^{-1} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$     (31)   ${\mathrm{Tan}^{-1} (1)}$
    (32)   ${\mathrm{Tan}^{-1} \left(\sqrt{3}\right)}$     (33)   ${\mathrm{Tan}^{-1} \left(-\sqrt{3}\right)}$     (34)  $\log 800$ ( $\log 2\simeq 0.3010$ を用いよ)

問 3.75 (三角関数)   $a\,\cos x+b\,\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\theta)$, $${\theta=\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)}$$ （ヒント：右辺に加法公式）

問 3.76 (三角関数)   次の条件をみたす係数 $a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2,b_3,c_0,c_1,c_2,c_3,c_4$ を求めよ．
    (1)   $\cos^2 x=a_2 \cos2 x+a_1 \cos x+a_0$
    (2)   $\cos^3 x=b_3 \cos3 x+b_2 \cos2 x+b_1 \cos x+b_0$
    (3)   $\cos^4 x=c_4 \cos4 x+c_3 \cos2 x+c_2 \cos x+c_1 \cos x+c_0$

問 3.77 (双曲線関数)   双曲線関数 $\sinh(x)$, $\cosh(x)$, $\tanh(x)$ の定義を書け．

問 3.78 (双曲線関数)   次の問に答えよ．
    (1)  双曲線関数 $\sinh x,\cosh x,\tanh x$の定義を書け．
    (2)  双曲線関数$\cosh x$の逆関数 $\cosh^{-1} x$を対数関数で表せ．
    (3)  加法公式 $\cosh (x+y)= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$を証明せよ．

問 3.79 (双曲線関数)   次の等式を証明せよ．
    (1)   $\cosh^2 x - \sinh^2 x= 1$     (2)   $\cosh (x \pm y)= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$
    (3)   $\sinh (x \pm y)= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$     (4)   $\sinh (x+y)= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
    (5)   $\cosh (x+y)= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$     (6)   $${\tanh (x+y)= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}}$$
    (7)   $\sin (x+y+z)= \sin x \cos y \cos z + \cos x \sin y \cos z \ + \cos x \cos y \sin z - \sin x \sin y \sin z$
    (8)   $${\sin^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) + \sin^{-1} \left(\frac{5}{13}\right) + \sin^{-1} \left(\frac{16}{65}\right) = \frac{\pi}{2}}$$
    (ヒント $16^2=256$ , $65^2=4225$ , $63^2=3969$)
    (9)   $${\cosh^2 x= \frac{1}{2} \cosh 2x+ \frac{1}{2}}$$     (10)   $${\cosh^3 x= \frac{1}{4} \cosh 3x+ \frac{3}{4} \cosh x}$$

問 3.80 (双曲線関数)   $t$ を任意の実数とするとき， $x = 3 \cosh t$, $y = 2 \sinh t$ をみたす $(x,y)$ のグラフを描け．

問 3.81 (関数の性質)   関数 $f(x)=x^2$ は $x<0$ において単調減少であり， $x>0$ において単調増加であることを示せ．

問 3.82 (関数の性質)   次の関数についてグラフを描け．また下記の表を埋めよ．
(i)-(iv)についても述べよ．
(i)定義域と値域を述べよ．
(ii)多価関数であるか述べよ．また多価関数である場合は何価であるか述べよ．
(iii)周期関数の場合はその周期を述べよ．
(iv)偶関数または奇関数である場合はその種別を述べよ．
    (1)  $2x+3$の逆関数     (2)  $e^{-x}$の逆関数     (3)  $e^{-2x-1}$の逆関数     (4)  $x^2$の逆関数
    (5)  $x^2+2x+4$の逆関数     (6)   $${\frac{2x-1}{x+3}}$$の逆関数     (7)  $\sin x$     (8)  $\cos x$     (9)  $\tan x$     (10)   $\sin^{-1}x$
    (11)   $\cos^{-1} x$     (12)   $\tan^{-1} x$     (13)   $${\mathrm{Sin}^{-1} x }$$     (14)   $\mathrm{Cos}^{-1} x$     (15)   $\mathrm{Tan}^{-1} x$     (16)  $\sinh x$
    (17)  $\cosh x$     (18)  $\tanh x$     (19)   $\sinh^{-1} x$     (20)   $\cosh^{-1} x$     (21)   $\tanh^{-1} x$     (22)   $\mathrm{Cosh}^{-1} x$
    (23)   $x^2 + 5x + 6$     (24)   $x^2 + 3x + 2$     (25)   $$\frac{x+1}{x-1}$$     (26)   $y=f(x)=1+e^{-x}$     (27)  $e^x$
    (28)  $\log x$     (29)   $$\frac{1}{1+e^{-x}}$$     (30)  $x\sin x$     (31)  $\sin x^2$

問題	定義域	値域	価数	周期 (注1)	偶・奇関数 (注2)
(例1)	$${\ -\infty \textless x \textless \infty}$$	$${\ 0 \leq y \textless \frac{\pi}{2}}$$	2価	周期 $\pi$	奇
(例2)	$${\ 0 \textless x}$$	$${\ y \geq 1}$$	1価	周期 $2\pi$	偶
(例3)	$${\ - 1 \leq x \leq 1}$$	$${\ -\infty \textless y \textless \infty}$$	無限多価	$\times$	$\times$
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)

(注1)周期関数である場合は周期の値を書き， 周期関数ではない場合は×とする．
(注2)偶関数である場合は偶，奇関数である場合は奇， どちらでもない場合は×と書く．

Kondo Koichi
平成19年1月23日