3.27 関数の極限の確定と不確定

定義 3.95 (無限大) 変数の値が正で限りなく大きくなるとき $x\to+\infty$ と書く．変数の値が負で限りなく小さくなるとき $x\to-\infty$ と書く．また，変数の値が正で限りなく大きくなるとき $f(x)\to+\infty$ と書く．変数の値が負で限りなく小さくなるとき $f(x)\to-\infty$ と書く．

注意 3.96 (確定，不確定) 極限 $f(x)\,\,(x\to a)$ を特徴づける性質として，収束，発散以外にも次の条件を考える：

収束	有限確定	確定	(例) $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\,e^{-x}\sin x=0$
発散	無限確定	確定	(例) $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\,e^{x}=\infty$
発散	無限不確定	不確定	(例) $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\,e^{x}\sin x$
発散	有限不確定	不確定	(例) $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\,\sin x$

注意 3.97 (不定形) 極限操作をし不定形

$\displaystyle \frac{0}{0}\,,\quad \frac{\infty}{\infty}\,,\quad \infty-\infty\,,\quad \infty\cdot0\,,\quad 0^0\,,\quad \infty^0\,,\quad 1^\infty$

と呼ばれる形になるときは注意が必要である．このままではまだ有限確定とも無限確定とも分からない．もしこの形のになるときは式変形をした後に極限操作を行う．極限が有限確定または無限確定

$\displaystyle \frac{1}{0}=\infty\,,\quad \frac{1}{\infty}=0\,,\quad \frac{\infty}{1}=\infty\,,\quad \infty+\infty=\infty\,.$

するように計算方法を工夫する．

例 3.98 (無限大の具体例)

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0\,,$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x}=\infty\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{-x}=\infty\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0\,,$
$\displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=\infty\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to a\pm0}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,,$	$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,.$

注意 3.99 (関数の増加の速さ) $x\to\infty$ における関数の増加の速さは次の通りである：

$\displaystyle e^{x} \quad>>\quad x^n \quad>>\quad x^2 \quad>>\quad x \quad>>\quad \sqrt{x} \quad>>\quad \sqrt[3]{x} \quad>>\quad \sqrt[n]{x} \quad>>\quad \log x$

例 3.100 (無限大への極限) $x\to\infty$ において

	$\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^5-x}\quad\to\quad \frac{x^2}{x^5}\quad\to\quad \frac{1}{x^3}\quad\to\quad 0.$
	$\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\quad\to\quad \frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{x}=1\quad\to\quad 1.$