2.30 演習問題 〜 座標変換

問 2.131 (座標変換)   関数 $z=f(x,y)$ に対する 座標変換

$$\quad x=2u+3v,\quad y=u-2v$$ (i)

$$\quad x=2u-3v,\quad y=4u+5v$$ (ii)

$$\quad x=\alpha u+\beta v,\quad y=\gamma u+\delta v$$ (iii)

それぞれにおいて次の問に答えよ．
    (1)   $uv$ 座標で $(u,v)= (0,1),(-3,4),(1,0)$ となる 点の $xy$ 座標における座標 $(x,y)$ を求めよ．
    (2)   $xy$ 座標で $(x,y)=(1,0),(-8,6),(2,3)$ となる点の $uv$ 座標における座標 $(u,v)$ を求めよ．
    (3)  $z_u, z_v$ を $z_x,z_y$ を用いて書き表せ．     (4)  $z_x,z_y$ を $z_u, z_v$ を用いて書き表せ．．
    (5)  関数 $F=(z_x)^2+(z_y)^2$ を$z_u, z_v$ を用いて書き表せ．     (6)   $z_{uu},z_{uv},z_{vv}$ を求めよ．
    (7)   ヤコビアン $${ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$$を求めよ．
    (8)   偏微分演算子 $${\frac{\partial}{\partial u}}$$, $${\frac{\partial}{\partial v}}$$ を $${\frac{\partial}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial}{\partial y}}$$ を用いてそれぞれ表せ．
    (9)   偏微分演算子 $${\frac{\partial}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial}{\partial y}}$$ を $${\frac{\partial}{\partial u}}$$, $${\frac{\partial}{\partial v}}$$ を用いてそれぞれ表せ．
    (10)   関数 $${G=z_{xx}+z_{yy}}$$ を $u,v$ で表せ.

問 2.132 (座標変換)   関数 $z=f(x,y)$ に対する 座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ において次の問に答えよ．
    (1)   $r\theta$ 座標で $(r,\theta)= (0,1),(-3,4),(1,\pi)$ となる 点の $xy$ 座標における座標 $(r,\theta)$ を求めよ．
    (2)   $xy$ 座標で $(x,y)=(1,0),(-8,6),(2,3)$ となる点の $r\theta$ 座標における座標 $(x,y)$ を求めよ．
    (3)   $z_r, z_\theta$ を $z_x,z_y$ を用いて書き表せ．     (4)  $z_x,z_y$ を $z_r,z_{\theta}$ を用いて書き表せ．
    (5)  関数 $F=(z_x)^2+(z_y)^2$ を $z_r, z_\theta$ を用いて書き表せ．     (6)   $z_{rr},z_{r\theta},z_{\theta\theta}$ を求めよ．
    (7)   ヤコビアン $${\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}}$$を求めよ．
    (8)   偏微分演算子 $${\frac{\partial}{\partial r}}$$, $${\frac{\partial}{\partial \theta}}$$ を $${\frac{\partial}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial}{\partial y}}$$ を用いてそれぞれ表せ．
    (9)   偏微分演算子 $${\frac{\partial}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial}{\partial y}}$$ を $${\frac{\partial}{\partial r}}$$, $${\frac{\partial}{\partial \theta}}$$ を用いてそれぞれ表せ．
    (10)   関数 $${G=z_{xx}+z_{yy}}$$ を $r,\theta$ で表せ.

問 2.133 (座標変換)   次の座標変換のヤコビアンを求めよ．
    (1)   $(x,y)\leftrightarrow(r,t)$: $x=r\cosh t$, $y=r\sinh t$
    (2)   $(x,y)\leftrightarrow(r,\theta)$: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$
    (3)   $(x,y,z)\leftrightarrow(r,\theta,\varphi)$: $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$

Kondo Koichi
平成19年1月23日